[论文解读] Hyperbolic inverse problem with data on disjoint sets

Yavar Kian, Yaroslav Kurylev+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 26被引用 3

一句话总结

该论文通过利用 $\mathcal{R}$ 的严格凸性和在时间 $T/2$ 内从 $\mathcal{S}$ 出发的精确可控性，证明了在不相交的集合 $\mathcal{S}$ 和 $\mathcal{R}$ 上的局部 Dirichlet-to-Neumann 数据下，双曲波方程中低阶系数 $A$ 和 $q$ 的唯一恢复。关键结果表明，即使 $\mathcal{S}$ 和 $\mathcal{R}$ 不相交，$A$ 和 $q$ 也在 $\mathcal{R}$ 的邻域内唯一确定，至多相差规范等价。

ABSTRACT

We consider a restricted Dirichlet-to-Neumann map associated to a wave type operator on a Riemannian manifold with boundary. The restriction corresponds to the case where the Dirichlet traces are supported on one subset of the boundary and the Neumann traces are restricted on another subset. We show that the restricted Dirichlet-to-Neumann map determines the lower order terms in the wave equation, up the natural gauge invariances, along a convex foliation of the manifold. We allow the lower order terms to be non-self-adjoint, and in particular, the corresponding physical system may have dissipation of energy.

研究动机与目标

• 研究从不相交集合 $\mathcal{S}$ 和 $\mathcal{R}$ 上的边界部分测量数据恢复双曲波方程中低阶系数 $A$ 和 $q$ 的逆问题。
• 克服观测区域与激励区域无重叠时标准方法失效的挑战，因观测与激励区域无交集。
• 在几何条件（$\mathcal{R}$ 的严格凸性）和控制理论条件（在时间 $T/2$ 内从 $\mathcal{S}$ 出发的精确可控性）下，建立 $A$ 和 $q$ 关于规范不变性的唯一性。
• 提出一种新方法：利用 $\mathcal{R}$ 的严格凸性构造其附近的局部化波解，从而在数据集不相交的情况下实现恢复。

提出的方法

• 构造在 $(0,T)\times\mathcal{S}$ 上有紧支集的边界源 $f$，使得解 $u_f(T,\cdot)$ 在时间 $T$ 时集中于 $\mathcal{R}$ 附近，利用 $\mathcal{R}$ 的严格凸性实现能量的局部化。
• 使用响应算子 $\Lambda_{\mathcal{S},\mathcal{R}}^T$，定义为 $f \mapsto (\partial_\nu u_f - \frac{1}{2}(A,\nu)_g u_f)|_{(0,T)\times\mathcal{R}}$，将边界源与法向迹联系起来。
• 应用规范变换框架：$A_\kappa = A + 2\kappa^{-1}\operatorname{grad}_g \kappa$，$q_\kappa = q + \kappa(A - \Delta_g)\kappa^{-1}$，在此框架下 $\Lambda_{\mathcal{S},\mathcal{R}}^T$ 保持不变。
• 利用在时间 $T/2$ 内从 $\mathcal{S}$ 出发的精确可控性，确保解可在时间 $T$ 前到达 $M$ 中任意点，从而实现逼近序列的构造。
• 利用 $L^2(M)$ 中的弱收敛性和可分性论证，分析时间 $T$ 处解的极限，证明其收敛于 $\mathcal{R}$ 附近的狄拉克型测度。
• 利用 $v_{1,\phi}(T,\cdot)$ 和 $v_{2,\phi}(T,\cdot)$ 满足伴随问题的事实，将两组不同系数集下的解联系起来，并通过内积恒等式推导唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当源集 $\mathcal{S}$ 与观测集 $\mathcal{R}$ 不相交时，能否从双曲波方程的边界部分数据中唯一恢复低阶系数 $A$ 和 $q$？
• RQ2 哪些几何条件（关于 $\mathcal{R}$）和控制理论条件（关于 $\mathcal{S}$）足以保证 $A$ 和 $q$ 关于规范不变性唯一？
• RQ3 当 $\mathcal{S}$ 与 $\mathcal{R}$ 不相交时，如何仅使用 $\mathcal{S}$ 上的边界源构造在时间 $T$ 时集中于 $\mathcal{R}$ 附近的解？
• RQ4 非自伴项 ($A$, $q$) 的存在对逆问题有多大影响？在此设定下如何处理规范不变性？

主要发现

• 在 $\mathcal{R}$ 严格凸且波方程在时间 $T/2$ 内从 $\mathcal{S}$ 精确可控的条件下，响应算子 $\Lambda_{\mathcal{S},\mathcal{R}}^T$ 唯一确定了 $\mathcal{R}$ 邻域内 $A$ 和 $q$ 的系数，至多相差规范变换。
• 通过在 $\mathcal{S}$ 上构造适当的边界源 $f$，可使解 $u_f(T,\cdot)$ 在时间 $T$ 时集中于 $\mathcal{R}$ 附近，这得益于 $\mathcal{R}$ 的严格凸性。
• 即使 $\mathcal{S}$ 与 $\mathcal{R}$ 不相交，逆问题仍可求解，这与在固定频率数据下无法恢复几何结构的结论形成对比。
• 该方法依赖于时间 $T$ 处解的弱极限收敛于狄拉克型测度，从而通过与伴随问题解的内积恒等式实现对 $A$ 和 $q$ 点值的恢复。
• 该结果适用于复值 $A$ 和 $q$，允许处理具有能量耗散的非自伴系统。
• 在凸叶状分解条件下，建立了全局唯一性结果，将局部结果推广至整个流形，但需更强的几何假设。