[论文解读] Hyperbolic manifolds that fiber algebraically up to dimension 8

Giovanni Italiano, Bruno Martelli+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文构造了首个在维度 $5 \leq n \leq 8$ 的双曲 $n$-流形，其通过满同态 $\pi_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ 代数纤维化于 $S^1$，且核为有限生成。在维度 7 和 8 中，核为有限表示，从而得到首个具有有限表示基本群但无限贝蒂数 $b_{n-1}$ 的双曲 $n$-流形，其源于具有无限多个最大秩隧道的覆盖。

ABSTRACT

We construct some cusped finite-volume hyperbolic $n$-manifolds $M_n$ that fiber algebraically in all the dimensions $5\leq n \leq 8$. That is, there is a surjective homomorphism $π_1(M_n) o \mathbb Z$ with finitely generated kernel. The kernel is also finitely presented in the dimensions $n=7, 8$, and this leads to the first examples of hyperbolic $n$-manifolds $\widetilde M_n$ whose fundamental group is finitely presented but not of finite type. These $n$-manifolds $\widetilde M_n$ have infinitely many cusps of maximal rank and hence infinite Betti number $b_{n-1}$. They cover the finite-volume manifold $M_n$. We obtain these examples by assigning some appropriate colours and states to a family of right-angled hyperbolic polytopes $P_5, \ldots, P_8$, and then applying some arguments of Jankiewicz, Norin, Wise and Bestvina, Brady. We exploit in an essential way the remarkable properties of the Gosset polytopes dual to $P_n$, and the algebra of integral octonions for the crucial dimensions $n=7,8$.

研究动机与目标

• 构造有限体积的双曲 $n$-流形（$5 \leq n \leq 8$），使其通过满同态 $\pi_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ 代数纤维化于 $S^1$，且核为有限生成。
• 证明在维度 7 和 8 中，该同态的核为有限表示，从而得到新的双曲流形例子，其基本群有限表示但贝蒂数无限。
• 证明这些流形覆盖有限体积的双曲 $n$-流形，且具有无限多个最大秩的环形隧道，导致 $b_{n-1}$ 无限。
• 利用维度 7 和 8 中右角双曲多面体 $P^n$ 与戈塞特多面体之间的对偶性，以及整数八元数代数，构造对称着色与状态。

提出的方法

• 通过对其面进行对称着色，将右角双曲多面体 $P^n \subset \mathbb{H}^n$ 的副本组装成 $M^n$。
• 使用一个状态——将面划分为‘内’和‘外’——来定义对角映射 $f: M^n \to S^1$，诱导出 $f_*: \pi_1(M^n) \to \mathbb{Z}$。
• 应用 Bestvina–Brady 的组合莫尔斯函数理论分析 $f_*$ 的核，特别是其有限生成性与有限表示性。
• 利用 $P^n$ 与戈塞特多面体（如 $n=8$ 中的 $4_{21}$）之间的对偶性，以及整数八元数代数，定义具有高度对称性的着色与状态。
• 通过着色生成的轨道复形的连通性与单连通性，验证在维度 7 和 8 中核为有限表示。
• 分析 $f$ 在隧道上的限制，并证明在所有维度 $n=5,\dots,8$ 中，至少有一个隧道的限制是零同伦的，意味着在覆盖中存在无限多个提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度 $5 \leq n \leq 8$ 中，双曲 $n$-流形是否能通过满同态 $\pi_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ 代数纤维化于 $S^1$，且核为有限生成？
• RQ2 在维度 7 和 8 中，是否存在基本群有限表示但贝蒂数 $b_{n-1}$ 无限的此类流形？
• RQ3 该构造能否通过与戈塞特多面体对偶的右角双曲多面体的对称着色，以及在 $n=7,8$ 中的整数八元数实现？
• RQ4 是否可能在不满足隧道限制为零同伦的条件下实现此类纤维化，抑或这是高维中的拓扑障碍？
• RQ5 无限覆盖 $\widetilde{M}^n = \mathbb{H}^n / \ker f_*$ 的精确拓扑与同调结构为何，特别是其贝蒂数与隧道结构？

主要发现

• 对每个 $5 \leq n \leq 8$，存在一个有限体积的双曲 $n$-流形 $M^n$ 和一个映射 $f: M^n \to S^1$，使得 $f_*: \pi_1(M^n) \to \mathbb{Z}$ 是满射且核为有限生成。
• 在维度 $n=7$ 和 $n=8$ 中，$f_*$ 的核为有限表示，使得 $\widetilde{M}^n = \mathbb{H}^n / \ker f_*$ 是一个基本群有限表示但贝蒂数 $b_{n-1}$ 无限的双曲 $n$-流形。
• 覆盖 $\widetilde{M}^n$ 具有无限多个最大秩的环形隧道，意味着 $b_{n-1}(\widetilde{M}^n) = \infty$，因此 $\pi_1(\widetilde{M}^n)$ 不是 $\mathrm{F}_{n-1}$ 型。
• $M^8$ 的欧拉示性数为 $278528$，有 $65280$ 个隧道，贝蒂数为 $b_1 = 365$，$b_2 = 33670$，$b_3 = 583290$，$b_4 = 1783226$，$b_5 = 1346030$，$b_6 = 456595$，$b_7 = 65279$，$b_8 = 0$。
• 在所有维度 $n=5,\dots,8$ 中，$f$ 在至少一个隧道上的限制是零同伦的，意味着在覆盖 $\widetilde{M}^n$ 中存在无限多个提升，因此该覆盖是几何无限的。
• $M^n$ 的基本群是 $\mathrm{O}(n,1,\mathbb{Z})$ 的有限指数子群，且在 $n=7,8$ 时，核 $\ker f_*$ 是 $\mathrm{O}(n,1,\mathbb{Z})$ 的有限表示子群，且 $b_{n-1}$ 无限，表明其为 $\mathrm{F}_2$ 型但非 $\mathrm{F}_{n-1}$ 型。