[论文解读] Hyperbolic manifolds with polyhedral boundary

Jean‐Marc Schlenker|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 48被引用 23

一句话总结

本文建立了具有多面体边界之双曲3-流形与边界上涉及二面角和诱导度量的度量之间的对偶性。通过施瓦茨公式与理想点的凸包，证明了在给定三角剖分下，满足曲率条件 $ K < 1 $ 且测地线长度 $ L > 2ar{\pi} $ 的二面角唯一确定双曲结构，将光滑边界的结果推广至多面体边界，并在Teichmüller空间上得到一个仿射分片平坦结构，同时推广了Koebe圆堆积定理。

ABSTRACT

Let $(M, \partial M)$ be a compact 3-manifold with boundary which admits a complete, convex co-compact hyperbolic metric. For each hyperbolic metric $g$ on $M$ such that $\dr M$ is smooth and strictly convex, the induced metric on $\dr M$ has curvature $K&gt;-1$, and each such metric on $\dr M$ is obtained for a unique choice of $g$. A dual statement is that, for each $g$ as above, the third fundamental form of $\dr M$ has curvature $K&lt;1$, and its closed geodesics which are contractible in $M$ have length $L&gt;2π$. Conversely, any such metric on $\dr M$ is obtained for a unique choice of $g$. We are interested here in the similar situation where $\partial M$ is not smooth, but rather looks locally like an ideal polyhedron in $H^3$. We can give a fairly complete answer to the question on the third fundamental form -- which in this case concerns the dihedral angles -- and some partial results about the induced metric. This has some by-products, like an affine piecewise flat structure on the Teichmueller space of a surface with some marked points, or an extension of the Koebe circle packing theorem to many 3-manifolds with boundary.

研究动机与目标

• 将此前仅对光滑严格凸边界成立的双曲度量与边界度量之间的对偶性，推广至边界为多面体的情形。
• 刻画具有理想多面体结构的双曲3-流形边界上的第三基本形式（以二面角表示）。
• 研究在组合约束下，多面体边界上的诱导度量，特别是其几何性质。
• 建立与Teichmüller理论、圆堆积以及锥流形几何之间的联系。
• 探讨在给定边界数据下，实现双曲结构的存在性与唯一性，包括Teichmüller空间上的仿射结构。

提出的方法

• 应用施瓦茨公式，将体积变化与双曲结构中二面角和剪切的变化联系起来。
• 在双曲3-空间中构造理想点的凸包，以建模多面体边界。
• 运用有限与理想Fuchsian多面体的无穷小刚性技术，分析边界数据。
• 基于流形的三角剖分，引入边界的一个胞腔剖分，以研究二面角的赋值。
• 通过组合与几何约束，证明某些二面角赋值的唯一实现。
• 通过分析角度变化及其全局一致性，推导出Teichmüller空间上的仿射分片平坦结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将双曲流形上的度量与光滑边界上度量之间的对偶性，推广至边界为多面体曲面的情形？
• RQ2 多面体边界上二面角的何种条件可保证流形上存在唯一完全、凸的共(compact)双曲度量？
• RQ3 多面体边界上的诱导度量如何与周围双曲流形的几何相关联？
• RQ4 能否通过二面角在具有多面体边界的3-流形的双曲结构空间上赋予自然的仿射结构？
• RQ5 理想双曲流形与具有奇异测地线的锥流形之间存在何种关系？这与刚性有何关联？

主要发现

• 对于给定的边界三角剖分，若二面角满足 $ K < 1 $ 且所有可缩闭测地线长度 $ L > 2\pi $，则具有多面体边界的双曲3-流形存在且唯一。
• 边界上的第三基本形式对应于曲率 $ K < 1 $ 的度量，且此类度量可被流形上的双曲结构唯一实现。
• 在带标记点的曲面的Teichmüller空间上构造了一个仿射分片平坦结构，其源于边界上二面角的赋值。
• 通过将二面角与 $ \mathbb{CP}^1 $ 中的圆配置关联，将Koebe圆堆积定理推广至许多带边界的3-流形。
• 理想双曲流形的空间自然具有仿射结构，且由三角剖分组合结构诱导的边界胞腔剖分在非退化点处局部有限。
• 在边界上除去有限个点后，给定有限面积度量的唯一双曲度量实现的存在性仍为开放问题，尽管已获得部分结果。