[论文解读] Hyperbolic metrics, measured foliations and pants decompositions for non-orientable surfaces

Athanase Papadopoulos, Robert Penner|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 17

一句话总结

本文为非可定向曲面建立了Fenchel-Nielsen、Dehn-Thurston与Hatcher-Thurston定理的类比，引入了排除单侧曲线扭转数的改进Fenchel-Nielsen坐标，通过省略单侧曲线的扭转数来调整Dehn-Thurston坐标，并通过增加两个新移动来扩展Hatcher-Thurston移动集以适应单侧曲线。主要贡献在于对Teichmüller空间与实测 foliation 的完整且最小的参数化，以及通过紧支集实测 foliation 的分段线性射影球面实现Teichmüller空间的紧化。

ABSTRACT

We provide analogues for non-orientable surfaces with or without boundary or punctures of several basic theorems in the setting of the Thurston theory of surfaces which were developed so far only in the case of orientable surfaces. Namely, we provide natural analogues for non-orientable surfaces of the Fenchel-Nielsen theorem on the parametrization of the Teichm\\"uller space of the surface, the Dehn-Thurston theorem on the parametrization of measured foliations in the surface, and the Hatcher-Thurston theorem, which gives a complete minimal set of moves between pair of pants decompositions of the surface. For the former two theorems, one in effect drops the twisting number for any curve in a pants decomposition which is 1-sided, and for the latter, new elementary moves on pants decompositions are introduced.

研究动机与目标

• 将Teichmüller理论中此前仅适用于可定向曲面的基础定理推广至非可定向曲面。
• 解决文献中非可定向曲面的Teichmüller空间与实测 foliation 缺乏系统性参数化的空白。
• 提出广义的Fenchel-Nielsen定理，省略裤分解中单侧曲线的扭转参数。
• 提供广义的Dehn-Thurston定理，省略单侧曲线的扭转数。
• 通过增加两个新移动扩展Hatcher-Thurston移动集，以确保非可定向曲面的裤分解集合在这些移动下连通。

提出的方法

• 通过仅使用非可定向曲面裤分解中双曲长度与双侧曲线的扭转数，来调整Fenchel-Nielsen坐标。
• 引入一种依赖于曲线方向与基点的新扭转数定义，推广可定向情形。
• 通过省略表示穿孔或单侧曲线的曲线的交点数与扭转数，来修改Dehn-Thurston参数化。
• 通过增加两个新初等移动扩展Hatcher-Thurston移动集：一个用另一条单侧曲线替换一条单侧曲线，另一个用一条双侧曲线替换两条单侧曲线，或反之。
• 通过紧支集实测 foliation 的分段线性球面构造Teichmüller空间的紧化。
• 通过等距 foliation 的局部坐标在边界点附近定义实测 foliation 与横截于裤分解的实测 foliation 空间子集之间的同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Fenchel-Nielsen定理推广至非可定向曲面，特别是在单侧曲线无扭转数的情况下？
• RQ2 非可定向曲面实测 foliation 的正确参数化是什么？它与可定向情形下的Dehn-Thurston定理有何不同？
• RQ3 为确保非可定向曲面的裤分解集合在初等移动下连通，除经典Hatcher-Thurston移动外还需增加哪些新移动？
• RQ4 Thurston的Teichmüller空间边界在非可定向曲面上如何实现？紧支集实测 foliation 的射影空间的拓扑结构是什么？
• RQ5 用于紧化非可定向曲面Teichmüller空间的球面的维数是多少？它如何依赖于裤分解中单侧与双侧曲线的数量？

主要发现

• 广义的Fenchel-Nielsen定理通过仅使用裤分解中曲线的双曲长度与双侧曲线的扭转数，对非可定向曲面的Teichmüller空间进行参数化，省略单侧曲线的扭转数。
• 广义的Dehn-Thurston定理通过交点数与扭转数对实测 foliation 进行参数化，其中单侧曲线及代表穿孔的曲线的交点数与扭转数均被省略。
• 广义的Hatcher-Thurston定理在经典两个移动的基础上增加了两个新初等移动，确保非可定向曲面的所有裤分解在这些移动下连通。
• 非可定向曲面Teichmüller空间的Thurston边界被实现为一个分段线性球面，其维数为 $\#{\mathcal{P}}_1 + 2\#{\mathcal{P}}_2 - 1$，其中 $\#{\mathcal{P}}_1$ 与 $\#{\mathcal{P}}_2$ 分别为裤分解中单侧与双侧曲线的数量。
• 紧支集实测 foliation 的射影空间，记为 $\mathcal{PF}_0(S)$，构成一个闭的分段线性球体，将Teichmüller空间紧化为一个闭球体，且映射类群在该边界上连续作用。