[论文解读] Hyperbolic $p$-sum and Horospherical $p$-Brunn-Minkowski theory in hyperbolic space

Haizhong Li, Botong Xu|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2022

Point processes and geometric inequalities被引用 4

一句话总结

本文在双曲空间 H^{n+1} 中引入了双曲 p-和，建立了针对光滑、双曲面凸区域的新双曲面 p-Brunn-Minkowski 理论。通过定义一种新的闵可夫斯基型和，并分析修正的等周积分的变分，作者在测度为偶测度时，对所有 p ∈ (−∞, +∞) 解决了双曲面 p-Minkowski 问题；在适当假设下，对 p ∈ (−n, +∞) 解决了双曲面 p-Christoffel-Minkowski 问题，证明了双曲几何设定下的关键 Brunn-Minkowski 与 Minkowski 不等式。

ABSTRACT

The classical Brunn-Minkowski theory studies the geometry of convex bodies in Euclidean space by use of the Minkowski sum. It originated from H. Brunn's thesis in 1887 and H. Minkowski's paper in 1903. Because there is no universally acknowledged definition of the sum of two sets in hyperbolic space, there has been no Brunn-Minkowski theory in hyperbolic space since 1903. In this paper, for any $p>0$ we introduce a sum of two sets in hyperbolic space, and we call it the hyperbolic $p$-sum. Then we develop a Brunn-Minkowski theory in the hyperbolic space by use of our hyperbolic $p$-sum, and we call it the horospherical $p$-Brunn-Minkowski theory. Let $K$ be any smooth horospherically convex bounded domain in the hyperbolic space $\mathbb{H}^{n+1}$. Through calculating the variation of the $k$-th modified quermassintegral of $K$ by use of our hyperbolic $p$-sum, we introduce the horospherical $k$-th $p$-surface area measure associated with $K$ on the unit sphere $\mathbb{S}^n$. For $k=0$, we introduce the horospherical $p$-Minkowski problem, which is the prescribed horospherical $p$-surface area measure problem. Through designing and studying a new volume preserving flow, we solve the existence of solutions to the horospherical $p$-Minkowski problem for all $p \in (-\infty,+\infty)$ when the given measure is even. For $1 \leq k \leq n-1$, we introduce the horospherical $p$-Christoffel-Minkowski problem, which is the prescribed horospherical $k$-th $p$-surface area measure problem. We solve the existence of solutions to the horospherical $p$-Christoffel-Minkowski problem for $p\in(-n, +\infty)$ under appropriate assumption on the given measure. We also study the Brunn-Minkowski inequalities and the Minkowski inequalities for domains in the hyperbolic space.

研究动机与目标

• 在双曲空间中建立 Brunn-Minkowski 理论，由于非欧几里得几何，标准闵可夫斯基和并不存在。
• 通过双曲面凸性与闵可夫斯基范数性质，在 H^{n+1} 中为集合定义一种新的几何和——双曲 p-和。
• 在给定测度为偶测度时，公式化并求解双曲面 p-Minkowski 问题，对所有 p ∈ (−∞, +∞)。
• 在适当测度条件下，将理论扩展至双曲面 p-Christoffel-Minkowski 问题，其中 1 ≤ k ≤ n−1 且 p ∈ (−n, +∞)。
• 推导并证明双曲面凸区域的双曲 p-Brunn-Minkowski 与 p-Minkowski 不等式。

提出的方法

• 通过在 H^{n+1} 的双曲面模型中使用未来类时向量与闵可夫斯基范数 N，基于闵可夫斯基型构造引入双曲 p-和。
• 通过双曲 p-和下第 k 个修正等周积分的变分，定义双曲面 k-阶 p-曲面面积测度。
• 构建保体积曲率流，以证明双曲面 p-Minkowski 问题解的存在性。
• 利用闵可夫斯基范数 N 在未来类时向量上的凹性，证明 1 ≤ p ≤ 2 时的关键不等式。
• 应用 AM-GM 不等式与涉及 cosh 距离的几何恒等式，推导加权体积的积分公式。
• 通过将测地线球半径与双曲 p-和下的半径 p-组合进行比较，建立双曲面 p-Brunn-Minkowski 不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在双曲空间中定义一致的闵可夫斯基型和，以支持 Brunn-Minkowski 理论？
• RQ2 当给定测度为偶测度时，双曲面 p-Minkowski 问题是否对所有 p ∈ (−∞, +∞) 都有解？
• RQ3 在何种条件下，双曲面 p-Christoffel-Minkowski 问题对 p ∈ (−n, +∞) 有解？
• RQ4 在 p-设定下，双曲几何中经典 Brunn-Minkowski 与 Minkowski 不等式的类比是什么？
• RQ5 能否去除双曲 p-Brunn-Minkowski 猜想中关于原点对称性的假设？

主要发现

• 当给定测度为偶测度时，通过保体积曲率流，解决了所有 p ∈ (−∞, +∞) 的双曲面 p-Minkowski 问题。
• 在适当假设下，对 p ∈ (−n, +∞) 解决了双曲面 p-Christoffel-Minkowski 问题，将经典 Christoffel-Minkowski 问题推广至双曲空间。
• 双曲面 p-Brunn-Minkowski 不等式对双曲面凸区域成立，且等号成立当且仅当区域双曲面合同。
• 对于 1 ≤ p ≤ 2，闵可夫斯基范数 N 在未来类时向量上为凹函数，该性质被用于通过光锥的凸性证明 p-Brunn-Minkowski 不等式。
• 利用涉及 cosh 距离的积分恒等式，推导出非以原点为中心的测地线球的加权体积，证实了 p-和构造的非平凡性。
• 反例表明，双曲 p-Brunn-Minkowski 猜想中的原点对称性假设无法去除，因为当中心远离原点时，不等式不再成立。