[论文解读] Hyperbolic-parabolic singular perturbation for Kirchhoff equations with weak dissipation

Marina Ghisi, Massimo Gobbino|ArXiv.org|Dec 18, 2009

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 31被引用 10

一句话总结

本文研究了具有弱阻尼的拟线性 Kirchhoff 方程的双曲-抛物奇异摄动问题，其中阻尼系数 $ b(t) = (1+t)^{-p} $ 随 $ t \to \infty $ 趋近于零。研究建立了当 $ \varepsilon > 0 $ 充分小时解的全局存在性，推导出双曲与抛物两种情形下的最优衰减速率，并证明了当 $ \varepsilon \to 0^+ $ 时双曲解收敛于抛物极限，且在 $ \varepsilon $ 与时间 $ t $ 方面给出了精确的误差估计。结果的关键在于非线性项 $ m(\sigma) $、阻尼强度 $ p $ 与算子 $ A $ 的强制性之间的相互作用。

ABSTRACT

We consider Kirchhoff equations with a small parameter epsilon in front of the second-order time-derivative, and a dissipative term whose coefficient may tend to 0 as t -> + infinity (weak dissipation). In this note we present some recent results concerning existence of global solutions, and their asymptotic behavior both as t -> + infinity and as epsilon -> 0. Since the limit equation is of parabolic type, this is usually referred to as a hyperbolic-parabolic singular perturbation problem. We show in particular that the equation exhibits hyperbolic or parabolic behavior depending on the values of the parameters.

研究动机与目标

• 分析具有弱阻尼的 Kirchhoff 方程的双曲-抛物奇异摄动问题，其中阻尼系数 $ b(t) \to 0 $ 当 $ t \to \infty $。
• 在 $ \varepsilon > 0 $ 足够小时，建立双曲问题解的全局存在性，尤其在退化与弱耗散情形下。
• 推导双曲与抛物问题解的精确衰减估计，并比较其长期行为。
• 证明当 $ \varepsilon \to 0^+ $ 时，双曲解 $ u_\varepsilon(t) $ 收敛于抛物极限 $ u(t) $，并给出余项 $ r_\varepsilon(t) $ 与 $ \rho_\varepsilon(t) $ 的精确误差估计。
• 识别在退化情形下全局存在性的开放问题，针对更弱的初始数据，以及在已知区域之间的“无人区”中的问题。

提出的方法

• 通过正确子 $ \theta_\varepsilon(t) $ 进行形式奇异摄动分析，其由满足初始条件（匹配初始速度跃迁）的线性二阶常微分方程定义。
• 将解分解为 $ u_\varepsilon(t) = u(t) + \theta_\varepsilon(t) + r_\varepsilon(t) $，其中 $ u(t) $ 满足极限抛物问题，$ r_\varepsilon(t) $ 为余项。
• 使用能量方法与加权能量估计来控制双曲情形下解的增长，特别是针对 $ p > 1 $ 与 $ p \leq 1 $ 的情况。
• 基于阻尼强度 $ p $、非线性项 $ m(\sigma) = \sigma^\gamma $ 与算子 $ A $ 的强制性之间的相互作用，分析衰减速率。
• 应用 Lions 正确子方法以处理在 $ \varepsilon \to 0 $ 极限下因失去一个初始条件而产生的边界层效应。
• 采用模型阻尼 $ b(t) = (1+t)^{-p} $ 以研究恒定阻尼与弱阻尼区域之间的过渡。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \varepsilon > 0 $ 较小时，具有弱阻尼 $ b(t) = (1+t)^{-p} $，$ p > 1 $ 的双曲 Kirchhoff 方程是否可能存在全局解？
• RQ2 当 $ \varepsilon \to 0^+ $ 时，双曲问题的解是否收敛于抛物极限，且具有最优衰减速率与收敛速率？
• RQ3 在非退化情形下，当 $ m(|A^{1/2}u_0|^2) > 0 $ 但 $ \mu = 0 $ 时，是否可在弱阻尼下建立全局存在性？
• RQ4 是否可将全局存在性结果推广至更弱的初值空间 $ D(A^{3/4}) \times D(A^{1/4}) $，而非 $ D(A) \times D(A^{1/2}) $？
• RQ5 在退化情形下，特别是当 $ \gamma \in (0,1) $ 且 $ p \in (\gamma/(\gamma+2), 1] $ 时，是否可改进收敛估计，以覆盖已知区域之间的“无人区”？

主要发现

• 当 $ b(t) = (1+t)^{-p} $ 且 $ p > 1 $ 时，无论 $ A $ 是否具有强制性，只要 $ \varepsilon > 0 $ 足够小，即可建立双曲 Kirchhoff 方程解的全局存在性。
• 对于抛物极限问题，当 $ \gamma > 0 $ 时，解以 $ (1+t)^{-\beta} $ 的形式衰减，其中 $ \beta = \frac{p+1}{\gamma} $，且在非强制情形下该衰减速率是最优的。
• 余项 $ r_\varepsilon(t) $ 满足估计式 $ (1+t)^{(p+1)/\gamma} |A^{1/2} r_\varepsilon(t)|^2 \leq C \varepsilon^2 $ 对所有 $ t \geq 0 $ 成立，其衰减速率与解本身一致。
• 在适当假设 $ m(\sigma) $ 与 $ b(t) $ 的条件下，$ u_\varepsilon(t) $ 到 $ u(t) $ 的收敛速率在能量范数下为 $ O(\varepsilon) $，且对时间一致。
• 在非退化情形下（$ \mu > 0 $），双曲解的衰减速率与抛物解一致，且当 $ \varepsilon \to 0^+ $ 时，收敛在时间上一致。
• 本文指出了在退化情形下收敛性与全局存在性的开放问题，包括弱强制算子与低正则性初值空间的情形。