[论文解读] Hyperbolic relaxation technique for solving the dispersive Serre-Green-Naghdi Equations with topography

Jean‐Luc Guermond, Christopher E. Kees+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 31被引用 9

一句话总结

本文提出了一种针对具有完整地形效应的色散 Serre-Green-Naghdi 方程的双曲松弛技术，通过双曲重构实现稳定的显式时间积分。该方法确保了良好平衡性、正性保持性以及二阶精度的有限元模拟，其结果收敛于原始模型，并与实验室实验结果高度一致，尤其在包含地形校正时表现更优。

ABSTRACT

The objective of this paper is to propose a hyperbolic relaxation technique for the dispersive Serre-Green-Naghdi equations (also known as the fully non-linear Boussinesq equations) with full topography effects introduced in Green, A.E. and Naghdi, P.M. (J. Fluid Mech., 78, 237-246, 1976) and Seabra-Santos el al (J. Fluid Mec.h, 176, 117-134, 1997). This is done by revisiting a similar relaxation technique introduced in Guermond el al (J. Comput. Phys., 399, 108917, 2019) with partial topography effects. We also derive a family of analytical solutions for the one-dimensional dispersive Serre-Green-Naghdi equations that are used to verify the correctness the proposed relaxed model. The method is then numerically illustrated and validated by comparison with experimental results.

研究动机与目标

• 解决具有完整地形效应的色散 Serre-Green-Naghdi 方程中三阶空间导数带来的数值挑战。
• 通过松弛技术将系统重构为双曲形式，以克服高阶导数导致隐式时间推进的局限性。
• 确保松弛方法保持关键物理特性：良好平衡性、正性保持性及能量守恒。
• 通过实验数据验证该方法，尤其关注复杂水深地形下的波浪反射与爬坡模拟。
• 展示完整地形校正对准确模拟真实世界波浪动力学的决定性作用。

提出的方法

• 将带有地形效应的色散 Serre-Green-Naghdi 方程重构为带约束的一阶双曲系统。
• 引入一种松弛技术，用双曲松弛系统替代约束条件，从而实现显式时间积分。
• 增加一个额外的守恒方程，并修改源项以保持与全局能量守恒定律的相容性。
• 采用 P1 有限元方法进行空间离散化，确保正性与良好平衡性。
• 将松弛参数设置为与局部网格尺寸成正比，以实现松弛参数的一阶收敛率。
• 实施壁面边界条件，并采用 CFL 数为 0.25 进行时间推进。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有完整地形效应的完全色散 Serre-Green-Naghdi 方程开发一种双曲松弛技术，以实现显式时间推进？
• RQ2 与忽略地形校正的模型相比，地形校正对波浪反射与爬坡模拟精度有何影响？
• RQ3 所提出的松弛方法是否能保持良好平衡性、正性保持性及能量守恒等关键物理特性？
• RQ4 松弛系统是否能以预期的一阶速率收敛至原始 Serre 模型（关于松弛参数）？
• RQ5 数值模型在模拟孤立波在圆锥形岛屿上的爬坡及越浪堤坝时，与实验数据的符合程度如何？

主要发现

• 双曲松弛技术使具有地形效应的色散 Serre-Green-Naghdi 方程实现了显式时间推进，避免了对隐式求解器的依赖。
• 当松弛参数与局部网格尺寸成正比时，数值模拟以一阶速率收敛至原始模型。
• 该方法即使在干态和复杂地形条件下，仍能保持良好平衡性、正性保持性与能量守恒。
• 模拟结果在 1D 堤坝越浪（SH 与 SL 实验）及 2D 孤立波在圆锥形岛屿上的爬坡模拟中，与实验数据高度一致。
• 忽略完整地形校正会导致与实验结果的显著偏差，尤其在波浪反射与爬坡幅度方面。
• 所提出的具有非平凡地形的 1D 系统解析解为代码验证提供了严格且非人为构造的基准。