[论文解读] Hyperbolic wavelet analysis of classical isotropic and anisotropic Besov-Sobolev spaces

Martin Schäfer, Tino Ullrich+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2019

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文通过在平滑性权重中编码各向异性的超双曲Littlewood-Paley分析，引入了各向异性的超双曲Besov与Triebel-Lizorkin空间，实现了使用单一通用的超双曲小波基对各向异性平滑性进行表征。关键贡献在于，在Sobolev范围内，这些新空间与经典的各向异性的Besov-Triebel空间一致，从而实现了无需事先知晓各向异性向量或进行基适应的通用各向异性检测。

ABSTRACT

In this paper we introduce new function spaces which we call anisotropic hyperbolic Besov and Triebel-Lizorkin spaces. Their definition is based on a hyperbolic Littlewood-Paley analysis involving an anisotropy vector only occurring in the smoothness weights. Such spaces provide a general and natural setting in order to understand what kind of anisotropic smoothness can be described using hyperbolic wavelets (in the literature also sometimes called tensor-product wavelets), a wavelet class which hitherto has been mainly used to characterize spaces of dominating mixed smoothness. A centerpiece of our present work are characterizations of these new spaces based on the hyperbolic wavelet transform. Hereby we treat both, the standard approach using wavelet systems equipped with sufficient smoothness, decay, and vanishing moments, but also the very simple and basic hyperbolic Haar system. The second major question we pursue is the relationship between the novel hyperbolic spaces and the classical anisotropic Besov-Lizorkin-Triebel scales. As our results show, in general, both approaches to resolve an anisotropy do not coincide. However, in the Sobolev range this is the case, providing a link to apply the newly obtained hyperbolic wavelet characterizations to the classical setting. In particular, this allows for detecting classical anisotropies via the coefficients of a universal hyperbolic wavelet basis, without the need of adaption of the basis or a-priori knowledge on the anisotropy.

研究动机与目标

• 开发一种基于超双曲小波分析的各向异性平滑性通用框架，且不依赖于各向异性方向的先验知识。
• 基于带有各向异性的平滑性权重的超双曲Littlewood-Paley分解，定义新的函数空间——超双曲Besov与Triebel-Lizorkin空间。
• 通过平滑的超双曲小波与超双曲Haar系统，建立这些新空间的精确表征。
• 阐明新超双曲空间与经典各向异性的Besov-Triebel-Lizorkin空间之间的关系，特别是在Sobolev范围内的关系。
• 证明单一通用的超双曲小波基可在无需基适应或先验各向异性信息的情况下检测经典各向异性。

提出的方法

• 通过超双曲Littlewood-Paley分解定义新函数空间：$\Delta_{\bar{j}}(f) := \mathcal{F}^{-1}[\theta_{j_1} \otimes \cdots \otimes \theta_{j_d} \mathcal{F}f]$，其中 $\bar{j} \in \mathbb{N}_0^d$。
• 通过向量 $\bar{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_d) > 0$ 且 $\sum \alpha_i = d$ 引入各向异性，该向量仅通过新空间 $\widetilde{A}^{s,\bar{\alpha}}_{p,q}(\mathbb{R}^d)$ 的平滑性权重进入。
• 使用超双曲小波变换表征新空间，包括具有足够衰减、平滑性与消失矩的平滑小波，以及更简单的超双曲Haar系统。
• 建立新超双曲空间与超双曲小波系数序列范数之间的范数等价性，证明其精确表征。
• 应用小波同构定理（定理4.2），将函数范数与 $\ell^p$ 和 $\ell^q$ 空间中的系数序列范数联系起来。
• 分析具有独立同分布符号的随机小波级数的行为，推导出 $L_p$-范数的下界，表明 $\mathbb{E}_{\bar{\varepsilon}}(\|f_{N,\bar{\varepsilon}}\|_p^p) \asymp N^{p/2}$ 对于 $p \geq 2$，且 $\|f_N\|_p \asymp \sqrt{N}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用单一通用的超双曲小波基，在不事先知晓各向异性方向的情况下表征各向异性平滑性？
• RQ2 新定义的超双曲Besov-Triebel-Lizorkin空间与经典各向异性函数空间之间有何关系？
• RQ3 在哪些平滑性范围内，基于超双曲小波的空间与经典各向异性空间一致？
• RQ4 具有独立同分布符号的随机小波级数在 $L_p$-范数下的小波系数序列行为如何？
• RQ5 超双曲小波变换是否能在信号具有混合平滑性时检测到各向异性，即使各向异性事先未知？

主要发现

• 新定义的超双曲Besov与Triebel-Lizorkin空间 $\widetilde{A}^{s,\bar{\alpha}}_{p,q}(\mathbb{R}^d)$ 可通过超双曲小波变换精确表征，适用于平滑小波与超双曲Haar系统。
• 当 $p \geq 2$ 时，具有独立同分布符号的随机小波级数的期望 $L_p$-范数满足 $\mathbb{E}_{\bar{\varepsilon}}(\|f_{N,\bar{\varepsilon}}\|_p^p) \asymp N^{p/2}$，意味着 $\|f_N\|_p \asymp \sqrt{N}$。
• 在Sobolev范围（$F^{s,\bar{\alpha}}_{p,2}$）内，新超双曲空间与经典各向异性的Triebel-Lizorkin空间一致，建立了两种框架之间的桥梁。
• 超双曲小波变换可实现各向异性的通用检测：单一基可分辨各向异性平滑性，而无需事先知晓各向异性向量或进行基适应。
• 当 $p < 1$ 时，局部化频率投影的 $F^0_{p,q}$-范数满足 $\|f_N\|_{F^0_{p,q}} \gtrsim 1$，而当 $p \geq 1$ 时，其增长为 $N^{1/p}$，表现出依赖于 $p$ 的显著不同行为。
• 小波系数序列范数与新超双曲空间中的函数范数等价，证实了通过超双曲小波变换，函数空间与序列空间之间存在同构关系。