[论文解读] Hyperbolicity and recurrence in dynamical systems: a survey of recent results

Luís Barreira|ArXiv.org|Oct 17, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 105被引用 9

一句话总结

这篇综述论文探讨了动力系统中双曲性、遍历性与维数理论之间的相互作用，重点关注定量遍历率及其与分形维数的联系。研究结果表明，对于具有平衡测度的双曲系统，遍历率可分解为稳定与不稳定分量，且返回时间近似可分解为稳定与不稳定方向返回时间的乘积，反映出遍历行为中存在乘积结构。

ABSTRACT

We discuss selected topics of current research interest in the theory of dynamical systems, with emphasis on dimension theory, multifractal analysis, and quantitative recurrence. The topics include the quantitative versus the qualitative behavior of Poincaré recurrence, the product structure of invariant measures and return times, the dimension of invariant sets and invariant measures, the complexity of the level sets of local quantities from the point of view of Hausdorff dimension, and the conditional variational principles as well as their applications to problems in number theory. We present the foundations of each area, and discuss recent developments and applications. All the necessary notions from ergodic theory, hyperbolic dynamics, dimension theory, and the thermodynamic formalism are briefly recalled. We concentrate on uniformly hyperbolic dynamics, although we also refer to nonuniformly hyperbolic dynamics. Instead of always presenting the most general results, we made a selection with the purpose of illustrating the main ideas while we avoid the accessory technicalities.

研究动机与目标

• 研究双曲动力系统中庞加莱遍历的定量性质，超越定性遍历定理。
• 建立遍历率与不变集及测度维数之间的联系。
• 探讨双曲系统中稳定与不稳定方向返回时间的乘积结构。
• 介绍多分形分析与变分原理的最新进展，并应用于数论。
• 为非专业读者提供遍历理论、维数理论与热力学形式主义中关键概念的自包含概述。

提出的方法

• 本文采用在局部极大紧致双曲集上的一致双曲动力系统的框架。
• 通过与可测划分相关的条件测度理论，定义稳定与不稳定遍历率。
• 通过返回时间对数与尺度对数之比的极限来定义遍历率，对一般点采用下极限与上极限版本。
• 作者利用Ledrappier-Young公式，将遍历率与条件测度的维数联系起来。
• 通过证明当 r 较小时，τ_r(x) ≈ τ_r^s(x,ρ) · τ_r^u(x,ρ) 成立（误差为次多项式），建立返回时间的乘积结构。
• 分析借助符号动力系统以及Ornstein和Weiss在移位空间中关于返回时间的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 双曲系统中的遍历率如何分解为稳定与不稳定分量？
• RQ2 稳定与不稳定方向的返回时间在多大程度上可乘性分解？
• RQ3 遍历率与不变测度的Hausdorff维数之间存在何种关系？
• RQ4 热力学形式主义中的变分原理如何与遍历性及数论相联系？
• RQ5 能否为双曲集上的平衡测度严格建立返回时间的乘积结构？

主要发现

• 对于C^{1+α}微分同胚作用于拓扑混合的局部极大紧致双曲集，对μ-几乎处处的x，有R(x) = R^s(x) + R^u(x)。
• 对μ-几乎处处的x，有R^s(x) = lim_{r→0} log μ^s_x(B^s(x,r)) / log r 与 R^u(x) = lim_{r→0} log μ^u_x(B^u(x,r)) / log r。
• 存在ρ(x) > 0，使得对所有ρ < ρ(x) 以及小的r < r(x,ρ,ε)，比值 τ_r^s(x,ρ) · τ_r^u(x,ρ) / τ_r(x) 落在r^ε与r^{-ε}之间，表明稳定与不稳定方向的返回时间近似独立。
• 该结果推广了Ornstein与Weiss对符号系统返回时间的结果，通过维数理论方法将其扩展至光滑双曲系统。
• 返回时间的乘积结构与稳定与不稳定动力在遍历行为上独立演化的观点一致。
• 该框架适用于Hölder连续势函数的平衡测度，将遍历性与热力学形式主义及多分形分析联系起来。