[论文解读] Hyperbolicity of maximal entropy measures for certain maps isotopic to Anosov

Carlos F. Álvarez|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 2

一句话总结

本文证明了在环面 𝕋ᵈ 上一类 C² 部分双曲微分同胚的遍历最大熵测度的双曲性，这些微分同胚同伦于具有二维中心丛的 Anosov 微分同胚。利用 Pesin 理论与熵分解，证明了只要该测度的熵超过中心因子映射的拓扑熵，任何此类测度必具有正负两种中心 Lyapunov 指数，因此为双曲测度。该结果解决了在高余维中心情形下最大熵测度双曲性质的关键问题。

ABSTRACT

We prove the hyperbolicity of ergodic maximal entropy measures for a class of partially hyperbolic diffeomorphisms of $\mathbb{T}^{d}$, which have a compact two-dimensional center foliation.

研究动机与目标

• 确定在 𝕋ᵈ 上具有二维中心丛的部分双曲微分同胚的遍历最大熵测度是否为双曲测度。
• 将此前针对一维中心丛情形下最大熵测度结果的已知结论，推广至二维紧致中心叶状结构的情形。
• 建立此类测度必然同时具有正负中心 Lyapunov 指数的条件，从而确保其双曲性。
• 分析中心因子映射及其拓扑熵在约束不变测度熵方面的角色。

提出的方法

• 利用变分原理将拓扑熵与度量熵联系起来。
• 应用 Pesin 理论与 Ledrappier-Young 熵公式，沿不稳定叶状结构分解熵。
• 采用 Tahzibi-Yang 熵不等式，以因子映射的熵为上界，控制沿不稳定叶状结构的局部熵。
• 利用由 f 与线性 Anosov 模型 A 之间的半共轭导出的全局全纯映射，保持几何结构。
• 应用 Ruelle 不等式，以度量熵为上界，控制正 Lyapunov 指数之和。
• 采用反证法：假设中心指数非正，则熵被限制在 htop(Ac) 以内，与假设 hμ(f) > k₀ 矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 𝕋ᵈ 上具有二维中心丛的 C² 部分双曲微分同胚中，何种条件下其遍历最大熵测度为双曲测度？
• RQ2 若某测度的中心 Lyapunov 指数非正，其熵是否可能超过中心因子映射的拓扑熵？
• RQ3 当中心丛为二维且系统同伦于 Anosov 微分同胚时，最大熵测度的双曲性是否仍保持？
• RQ4 中心叶状结构的几何构造如何影响最大熵测度的 Lyapunov 指数谱？

主要发现

• 任何具有 hμ(f) > k₀ 的遍历不变测度 μ，其中 k₀ = htop(Ac)，必具有正负两种中心 Lyapunov 指数。
• 若所有中心 Lyapunov 指数均非正，则 hμ(f) = hπ*μ(fc) ≤ htop(fc) = htop(Ac)，与 hμ(f) > k₀ 矛盾。
• 因此，max{λc₁, 0} + max{λc₂, 0} > 0，意味着至少存在一个正的中心指数。
• 类似地，考虑 f⁻¹ 时，有 max{−λc₁, 0} + max{−λc₂, 0} > 0，意味着至少存在一个负的中心指数。
• 因此，μ 具有正负两种中心 Lyapunov 指数，为双曲测度。
• 特别地，此类系统的所有最大熵测度均为双曲测度。