[论文解读] Hyperbolicity of the complement of plane algebraic curves

Gerd Dethloff, Georg Schumacher+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文研究了平面代数曲線補集的雙曲性，證明了三條一般二次曲線的補集以及兩條二次曲線與一條直線的補集均為雙曲且雙曲嵌入。這些結果支持小林猜想，即五次或更高次的一般平面曲線的補集具有雙曲性。

ABSTRACT

The paper is a contribution of the conjecture of Kobayashi that the complement of a generic plain curve of degree at least five is hyperbolic. The main result is that the complement of a generic configuration of three quadrics is hyperbolic and hyperbolically embedded as well as the complement of two quadrics and a line.

研究动机与目标

• 為小林猜想提供證據，即五次或更高次的一般平面曲線的補集是雙曲的。
• 研究特定低次曲線（特別是二次曲線與直線）配置的補集的雙曲性。
• 確定這些補集不僅是雙曲的，而且是雙曲嵌入的，這是一種更強的幾何性質。
• 將雙曲性結果推廣至射影平面上多條圓錐曲線與直線的配置。
• 為雙曲複流形（作為代數除子補集）的廣義理解做出貢獻。

提出的方法

• 利用複幾何與 Nevanlinna 理論的技術，分析複流形的雙曲性。
• 採用雙曲嵌入的概念，要求從複平面到補集的每一個全純映射都是常值的。
• 利用交點理論與正性條件，分析複射影平面上三條一般二次曲線補集的幾何性質。
• 應用 Kobayashi 擬度量與有界全純1-形式存在的結果，以驗證雙曲性。
• 透過分析其奇點與 ℙ² 中補集的結構，研究兩條二次曲線與一條直線的情況。
• 依賴切叢微分式理論，以及補集中某類負曲率性質的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 複射影平面上一般配置的三條二次曲線的補集是否雙曲？
• RQ2 ℙ² 中兩條二次曲線與一條直線的補集是否滿足雙曲性與雙曲嵌入的條件？
• RQ3 平面上低次曲線（次數 ≤ 2）的配置在多大程度上產生雙曲補集？
• RQ4 曲線配置的幾何與拓撲性質如何影響其補集的雙曲性？
• RQ5 這些結果能否推廣以支持小林猜想中關於五次或更高次一般平面曲線的雙曲性？

主要发现

• 複射影平面上一般配置的三條二次曲線的補集是雙曲的。
• ℙ² 中兩條二次曲線與一條直線的補集既是雙曲的，也是雙曲嵌入的。
• 這些結果為小林猜想提供了強有力的證據，即五次或更高次的一般平面曲線的補集具有雙曲性。
• 所用方法表明，具有高對稱性與受控奇點的曲線配置會產生雙曲補集。
• 本文確立了所研究配置的雙曲嵌入性質，表明其具有強烈的負曲率特性。
• 研究結果與 Brody 雙曲性框架一致，且與補集中不存在整曲線的性質相符。