[论文解读] Hypercomputation: computing more than the Turing machine

Toby Ord|ArXiv.org|Sep 25, 2002

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 54被引用 54

一句话总结

本文挑战了图灵机设定了可计算性基本限制的普遍信念，提出了超计算作为超越图灵限制的模型框架。它综述了非经典计算模型，分析了其理论与物理可行性，并展示了这些模型如何削弱哥德尔不完全性定理与查伊汀算法随机性在算术中的影响。

ABSTRACT

Due to common misconceptions about the Church-Turing thesis, it has been widely assumed that the Turing machine provides an upper bound on what is computable. This is not so. The new field of hypercomputation studies models of computation that can compute more than the Turing machine and addresses their implications. In this report, I survey much of the work that has been done on hypercomputation, explaining how such non-classical models fit into the classical theory of computation and comparing their relative powers. I also examine the physical requirements for such machines to be constructible and the kinds of hypercomputation that may be possible within the universe. Finally, I show how the possibility of hypercomputation weakens the impact of Godel's Incompleteness Theorem and Chaitin's discovery of 'randomness' within arithmetic.

研究动机与目标

• 澄清误解：Church-Turing论题并不意味着图灵机是可计算性的终极极限。
• 综述并分类各种超计算模型，并在经典可计算性理论框架内评估其相对计算能力。
• 考察超计算系统的物理可行性及其在宇宙中实现的潜力。
• 研究超计算如何影响数学逻辑中的基础结果，特别是哥德尔不完全性定理与查伊汀的算法随机性。
• 厘清超计算与经典可计算性之间的关系，建立一个连贯的理论框架。

提出的方法

• 系统性地对超计算模型进行分类，包括无限时间图灵机、模拟机器和预言机。
• 通过形式可计算性理论，将每种模型的计算能力与标准图灵机进行比较。
• 通过评估模型是否需要非物理或不可构造的资源（例如无限时间、完美测量）来评估其物理可实现性。
• 应用数学逻辑的结果，表明超计算能够判定不可判定问题，例如停机问题。
• 使用逻辑与信息论框架，研究超计算对哥德尔式不完备性与算法随机性的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在能够解决图灵机无法触及问题的计算模型？
• RQ2 构建超计算系统在理论与物理上受到哪些限制？
• RQ3 超计算如何影响哥德尔不完全性定理的有效性与适用范围？
• RQ4 超计算在多大程度上能减少或消除查伊汀所描述的算术中算法随机性？
• RQ5 超计算模型如何与或扩展经典可计算性理论？

主要发现

• 超计算表明，Church-Turing论题并不排除存在能够解决不可判定问题（如停机问题）的机器。
• 某些超计算模型（如无限时间图灵机）能够计算图灵机无法触及的函数，包括非可计算的实数。
• 本文表明，超计算能够判定哥德尔式不可判定命题的真值，从而削弱不完备性在形式系统中的基础性影响。
• 通过实现算法随机序列的计算，超计算挑战了查伊汀关于随机性在算术中固有且不可计算的论断。
• 物理限制（如有限资源与测量极限）限制了大多数超计算模型在真实宇宙中的可行性。
• 当正确形式化时，超计算的理论模型与经典逻辑和可计算性保持一致，表明其是对可计算性框架的连贯扩展。