[论文解读] Hypercontractions and factorizations of multipliers in one and several variables

Monojit Bhattacharjee, B. Krishna Das+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文引入了一元和多元情形下交换超收缩元组的特征函数，推广了Sz.-Nagy与Foias的理论。通过通用乘子和转移函数，建立了这些特征函数的典范分解，证明其为完全酉不变量，并完全确定了联合不变子空间。

ABSTRACT

We introduce the notion of characteristic functions for commuting tuples of hypercontractions on Hilbert spaces, as a generalization of the notion of Sz.-Nagy and Foias characteristic functions of contractions. We present an explicit method to compute characteristic functions of hypercontractions and relate characteristic functions by means of the factors of Schur-Agler class of functions and universal multipliers on the unit ball in $\mathbb{C}^n$. We also offer some factorization properties of multipliers. Characteristic functions of hypercontrctions are complete unitary invariant. The Drury-Arveson space and the weighted Bergman spaces on the unit ball continues to play a significant role in our consideration. Our results are new even in the special case of single hypercontractions.

研究动机与目标

• 将Sz.-Nagy与Foias的特征函数理论推广至多元交换超收缩元组。
• 为纯 $m$-超收缩元组定义典范特征三元组，并将其特征函数表示为单位球上的算子值解析函数。
• 证明特征函数是超收缩元组的完全酉不变量，唯一确定联合不变子空间。
• 提供特征函数分解为通用乘子与转移函数的形式，将经典模型理论推广至超收缩元组。
• 利用特征函数的分解刻画联合移位不变子空间的游荡子空间。

提出的方法

• 为纯 $m$-超收缩元组 $T$ 引入特征三元组 $(\mathcal{E}, B, D)$，其中 $\mathcal{E}$ 为希尔伯特空间，$B, D$ 为有界算子。
• 将特征函数 $\Theta_T(\bm{z})$ 定义为从特征三元组导出的单位球 $\mathbb{B}^n$ 上的算子值解析函数。
• 通过酉共轭 $U = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ 构造典范转移函数 $\tilde{\Phi}_{T,m}(\bm{z})$，其中 $\tilde{\Phi}_{T,m}(\bm{z}) = D + C(I - ZA)^{-1}ZB$。
• 通过酉等距互换关系，证明 $\tilde{\Phi}_{T,m}$ 的纯收缩部分在 $(\ker B)^\perp$ 上等于特征函数 $\Theta_T(\bm{z})$。
• 建立从向量值Drury-Arveson空间到 $\mathbb{B}^n$ 上再生核希尔伯特空间的收缩乘子的一般分解定理。
• 利用该分解，以特征函数的因子参数化联合移位不变子空间的游荡子空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在多元情形下为纯 $m$-超收缩元组的特征函数提供典范定义，从而推广单个收缩的情形？
• RQ2 超收缩元组的特征函数与单位球上的Schur-Agler类函数及通用乘子有何关系？
• RQ3 特征函数在多大程度上可作为交换超收缩元组的完全酉不变量？
• RQ4 能否将超收缩元组的特征函数分解为通用乘子与转移函数的乘积？
• RQ5 特征函数的因子如何决定超收缩元组的联合不变子空间？

主要发现

• 纯 $m$-超收缩元组的特征函数 $\Theta_T(\bm{z})$ 是完全酉不变量，唯一确定算子在酉等价意义下的形式。
• 特征函数 $\Theta_T(\bm{z})$ 可典范表示为 $Y\tilde{\Phi}_{T,m}(\bm{z})X$，其中 $\tilde{\Phi}_{T,m}$ 为来自特征三元组的转移函数，$X, Y$ 分别为酉算子与等距映射。
• $\tilde{\Phi}_{T,m}(\bm{z})$ 的纯收缩部分与特征函数 $\Theta_T(\bm{z})$ 一致，建立了与经典模型理论的联系。
• 纯 $m$-超收缩元组的联合不变子空间完全由其特征函数的因子决定。
• 建立了 $\mathbb{B}^n$ 上收缩乘子的一般分解定理，从而可参数化移位不变子空间的游荡子空间。
• 即使在单个超收缩的情形下，这些结果亦为新成果，将经典的Sz.-Nagy–Foias理论推广至多元超收缩情形。