[论文解读] Hypercontractivity and logarithmic Sobolev Inequality for non-primitive quantum Markov semigroups and estimation of decoherence rates

Ivan Bardet, Cambyse Rouzé|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Random Matrices and Applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，用于非原始量子马尔可夫半群（QMS）中的超收缩性与对数索波罗夫不等式（LSI），采用合并的 $ L_p $ 范数，推广了原始情形下的先前结果。它证明了弱超收缩性蕴含弱LSI，表明非平凡原始QMS中强LSI与强超收缩性不成立，并通过完全有界（CB）范数推导出退相干速率的通用界，将结果扩展至张量化系统。

ABSTRACT

We generalize the concepts of weak quantum logarithmic Sobolev inequality (LSI) and weak hypercontractivity (HC), introduced in the quantum setting by Olkiewicz and Zegarlinski, to the case of non-primitive quantum Markov semigroups (QMS). The originality of this work resides in that this new notion of hypercontractivity is given in terms of the so-called amalgamated $\mathbb{L}_p$ norms introduced recently by Junge and Parcet in the context of operator spaces theory. We make three main contributions. The first one is a version of Gross' integration lemma: we prove that (weak) HC implies (weak) LSI. Surprisingly, the converse implication differs from the primitive case as we show that LSI implies HC but with a weak constant equal to the cardinal of the center of the decoherence-free algebra. Building on the first implication, our second contribution is the fact that strong LSI and therefore strong HC do not hold for non-trivially primitive QMS. This implies that the amalgamated $\mathbb{L}_p$ norms are not uniformly convex for $1\leq p \leq 2$. As a third contribution, we derive universal bounds on the (weak) logarithmic Sobolev constants for a QMS on a finite dimensional Hilbert space, using a similar method as Diaconis and Saloff-Coste in the case of classical primitive Markov chains, and Temme, Pastawski and Kastoryano in the case of primitive QMS. This leads to new bounds on the decoherence rates of decohering QMS. Additionally, we apply our results to the study of the tensorization of HC in non-commutative spaces in terms of the completely bounded norms (CB norms) recently introduced by Beigi and King for unital and trace preserving QMS. We generalize their results to the case of a general primitive QMS and provide estimates on the (weak) constants.

研究动机与目标

• 将弱超收缩性与弱对数索波罗夫不等式（LSI）推广至非原始量子马尔可夫半群（QMS），其中动力学收敛至非平凡的退相干自由代数。
• 在非原始情形下建立格罗斯积分引理的一个版本，表明弱超收缩性蕴含弱LSI。
• 证明强LSI与强超收缩性在非平凡原始QMS中不成立，意味着合并的 $ \rL_p $ 范数在 $ 1 \leq p \leq 2 $ 时不具备一致凸性。
• 通过受迪亚孔尼斯与萨洛夫-科斯特、特梅等方法启发的方法，推导出有限维QMS弱LSI常数的通用上界，从而得到退相干速率的估计。
• 将完全有界（CB）对数索波罗夫不等式理论扩展至一般原始QMS，并提供弱常数的估计，包括张量化性质。

提出的方法

• 引入一种基于合并 $ \rL_p $ 范数的新超收缩性概念，其依赖于半群的退相干自由代数 $ \rN(\rP) $ 和迹归一化的不变态 $ \sigma_{\operatorname{Tr}} $。
• 应用科萨基的非交换加权 $ \rL_p $ 空间理论以及尚与帕塞特近期的算子空间技术，定义合并范数。
• 证明广义格罗斯积分引理：弱超收缩性蕴含弱LSI，常数依赖于退相干自由代数中心的基数。
• 利用谱间隙与逆范数 $ \|\sigma^{-1}\|_{\infty} $ 有界弱CB-对数索波罗夫常数，从而导出退相干速率的显式上界。
• 通过利用完全有界（CB）范数的乘法性，将理论应用于张量化QMS，证明弱CB-LSI常数在张量化下具有可加性。
• 证明强LSI与强超收缩性在非原始QMS中不成立，原因在于 $ 1 \leq p \leq 2 $ 时合并 $ \rL_p $ 范数不具备一致凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱超收缩性与弱对数索波罗夫不等式能否推广至非原始量子马尔可夫半群？
• RQ2 在非原始情形下，弱超收缩性是否蕴含弱LSI？退相干自由代数中心在常数中起什么作用？
• RQ3 强对数索波罗夫不等式与强超收缩性能否在非原始QMS中成立？合并 $ \rL_p $ 范数的何种结构性质阻止了这一点？
• RQ4 能否为有限维QMS的弱对数索波罗夫常数推导出通用上界？它们与退相干速率有何关联？
• RQ5 完全有界（CB）范数如何将对数索波罗夫不等式的张量化理论扩展至一般原始QMS？这对多体系统有何影响？

主要发现

• 对于非原始QMS，弱超收缩性蕴含弱对数索波罗夫不等式（LSI），常数受退相干自由代数中心基数的有界。
• 在非平凡原始QMS中，强LSI与强超收缩性不成立，这意味着合并的 $ \rL_p $ 范数在 $ 1 \leq p \leq 2 $ 时不具有一致凸性。
• 推导出弱CB-对数索波罗夫常数的通用上界：$ c \leq \frac{\ln\|\sigma^{-1}\|_{\infty} + 2}{2\lambda(\mathcal{L})} $，其中 $ \lambda(\mathcal{L}) $ 为谱间隙。
• 弱CB-对数索波罗夫不等式具有可加常数的张量化性质：对于 $ n $ 个张量化的原始QMS，常数 $ c $ 为各自主常数的最大值，而 $ d = \sum d_i $。
• 该框架将CB-对数索波罗夫不等式推广至一般原始QMS，推广了贝吉与金的结果，并在张量化情形下提供了弱常数的估计。
• 结果为非原始QMS的退相干速率提供了新的显式上界，尤其在耗散态制备与量子存储稳定性背景下具有重要意义。