[论文解读] Hypercontractivity of the Bohnenblust-Hille inequality for polynomials and multidimensional Bohr radii

Andreas Defant, Leonhard Frerick|ArXiv.org|Mar 19, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文建立了齐次多项式上Bohnenblust-Hille不等式的超收缩性，证明最优常数关于次数至多以指数方式增长。这导致了σ-凸体的多维Bohr半径的精确渐近下界，表明ℓₙᵖ中单位球的Bohr半径Kₙᵖ渐近至少为(log n/n)^{1-1/min(p,2)}，与已知的上界一致，并在Boas和Khavinson的意义下证明了最优性。

ABSTRACT

In 1931 Bohnenblust and Hille proved that for each m-homogeneous polynomial $\sum_{|α| = m} a_αz^α$ on $\C^n$ the $\ell^{\frac{2m}{m+1}}$-norm of its coefficients is bounded from above by a constant $C_m$ (depending only on the degree $m$) times the sup norm of the polynomial on the polydisc $\mathbb{D}^n$. We prove that this inequality is hypercontractive in the sense that the optimal constant $C_m$ is $\leq C^m$ where $C \geq 1$ is an absolute constant. From this we derive that the Bohr radius $K_n$ of the $n$-dimensional polydisc in $\mathbb{C}^n$ is up to an absolute constant $\geq \sqrt{\log n/n}$; this result was independently and with a differnt proof discovered by Ortega-Cerd{à}, Ounaïes and Seip. An alternative approach even allows to prove that the Bohr radius $K_n^p$, $1 \leq p \leq \infty $ of the unit ball of $\ell_n^p ,$ is asymptotically $ \geq (\log n/n) ^{1-1/ \min (p,2)}$. This shows that the upper bounds for $K_n^p$ given by Boas and Khavinson are optimal.

研究动机与目标

• 建立ℂⁿ上𝑚-齐次多项式Bohnenblust-Hille不等式的超收缩性。
• 推导ℓₙᵖ中单位球的多维Bohr半径Kₙᵖ的精确渐近下界。
• 证明Boas和Khavinson给出的Kₙᵖ上界在渐近意义下是最优的。

提出的方法

• 证明𝑚-齐次多项式Bohnenblust-Hille不等式中最佳常数𝐷ₘ满足𝐷ₘ ≤ 𝐶ᵐ，其中𝐶 ≥ 1为绝对常数，从而确立超收缩性。
• 利用超收缩估计来控制𝑚-齐次多项式空间中单项式的无条件基常数𝜒ₘₒₙ(𝒫(ᵐℓₙᵖ))。
• 通过Hahn-Banach扩张和Hölder不等式估计𝒫(ᵐℓₙᵖ)的投影常数。
• 利用关系式𝐾ₙᵖ ≥ 1/(3 supₘ 𝜒ₘₒₙ(𝒫(ᵐℓₙᵖ))^{1/𝑚})推导Bohr半径的下界。
• 对𝑚(𝑛/𝑚)^{1/𝑚}进行渐近最小化，以优化𝐾ₙᵖ的界限。
• 利用ℓ∞ⁿ的极化常数的已知估计和Khinchine型不等式，进一步优化常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 𝑚-齐次多项式上的Bohnenblust-Hille不等式是否具有超收缩性，即其最佳常数是否关于𝑚至多以指数方式增长？
• RQ2 当𝑛 → ∞时，ℓₙᵖ中单位球的Bohr半径𝐾ₙᵖ的渐近行为如何？
• RQ3 Boas和Khavinson给出的𝐾ₙᵖ上界是否最优，或可进一步改进？
• RQ4 无条件基常数𝜒ₘₒₙ(𝒫(ᵐℓₙᵖ))在𝑛和𝑚中的渐近行为如何？
• RQ5 当𝑛 → ∞时，supₘ 𝜒ₘₒₙ(𝒫(ᵐℓₙᵖ))^{1/𝑚}的精确渐近增长是什么？

主要发现

• 𝑚-齐次多项式上的Bohnenblust-Hille不等式具有超收缩性：最佳常数𝐷ₘ满足𝐷ₘ ≤ 𝐶ᵐ，其中𝐶 ≥ 1为绝对常数，优于先前的界。
• 无条件基常数𝜒ₘₒₙ(𝒫(ᵐℓₙᵖ))满足𝜒ₘₒₙ(𝒫(ᵐℓₙᵖ)) ≤ 𝐶ᵐ (1 + 𝑛/𝑚)^{(𝑚−1)(1−1/min(𝑝,2))}，其中𝐶 ≥ 1为绝对常数，且𝐶在每一步中可能变化。
• ℓₙᵖ中单位球的多维Bohr半径𝐾ₙᵖ满足𝐾ₙᵖ ≳ (log 𝑛 / 𝑛)^{1−1/min(𝑝,2)}，当𝑛 → ∞时，与Boas和Khavinson的上界一致。
• 𝐾ₙᵖ的渐近下界是最优的，因其与已知上界完全匹配，从而证实了Boas和Khavinson的估计是精确的。
• 量supₘ 𝜒ₘₒₙ(𝒫(ᵐℓₙᵖ))^{1/𝑚}的渐近增长为𝐶 (𝑛 / log 𝑛)^{1/max(𝑝,2)}，其中𝐶为绝对常数，量化了对称与完整注入张量范数之间的差距。