[论文解读] Hypercyclic subspaces and weighted shifts

Quentin Menet|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文将超循环子空间准则推广至具有连续范数的Fréchet空间上的算子序列，并为加权移位算子建立了判断其不存在超循环子空间的简单准则。本文刻画了在 $\ell^p$、$c_0$、整函数空间以及某些Köthe序列空间上具有超循环子空间的加权移位算子，证明了整函数空间上微分算子的任意非常数多项式均具有超循环子空间。

ABSTRACT

We first generalize the results of León and Müller [Studia Math. 175(1) 2006] on hypercyclic subspaces to sequences of operators on Fréchet spaces with a continuous norm. Then we study the particular case of iterates of an operator T and show a simple criterion for having no hypercyclic subspace. Finally we deduce from this criterion a characterization of weighted shifts with hypercyclic subspaces on the spaces lp or c0, on the space of entire functions and on certain Köthe sequence spaces. We also prove that if P is a non-constant polynomial and D is the differentiation operator on the space of entire functions then P(D) possesses a hypercyclic subspace.

研究动机与目标

• 将超循环子空间理论从Banach空间推广至具有连续范数的Fréchet空间。
• 为Banach空间或Fréchet空间上的算子建立其不具有超循环子空间的简单判别准则。
• 刻画在 $\ell^p$、$c_0$、整函数空间以及某些Köthe序列空间上具有超循环子空间的加权移位算子。
• 证明整函数空间上微分算子的任意非常数多项式均具有超循环子空间。

提出的方法

• 将León与Müller的准则（定理0.3与0.4）推广至具有连续范数的Fréchet空间。
• 提出一种基于有限余维子空间上算子范数的统一下界的新准则，用于检测超循环子空间的缺失。
• 通过分析权系数的增长条件及其相关序列空间范数，将该准则应用于加权移位算子。
• 利用矩阵表示与权序列的渐近比较，验证Köthe序列空间中超循环准则的成立。
• 借助谱理论与泛函分析工具，包括超循环准则及整函数空间 $H(\mathbb{C})$ 上微分算子的性质。
• 建立充分条件，涉及权系数与序列空间系数的上极限与下极限的比较，以保证超循环子空间的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有连续范数的Fréchet空间上，算子序列在何种条件下具有超循环子空间？
• RQ2 在Banach空间或Fréchet空间上，算子在何种条件下不具有超循环子空间？
• RQ3 在 $\ell^p$、$c_0$ 或整函数空间上，哪些加权移位算子具有超循环子空间？
• RQ4 整函数空间上微分算子的任意非常数多项式是否都具有超循环子空间？
• RQ5 在Köthe序列空间上，加权移位算子具有超循环子空间的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 定理0.5中的准则提供了超循环子空间缺失的等价条件，即在有限余维子空间上 $\|T^n x\|$ 的统一下界。
• 对于 $\ell^p$ 或 $c_0$ 上的加权移位算子，若对所有 $n \geq 1$ 有 $\inf_k \prod_{\nu=1}^n |w_{\nu+k}| = 0$，则 $I + B_w$ 具有超循环子空间。
• 在整函数空间上，微分算子 $D$ 的任意非常数多项式 $P(D)$ 均具有超循环子空间。
• 在Köthe序列空间 $\lambda^p(A)$ 或 $c_0(A)$ 中，若权系数与序列空间系数满足特定的上极限与下极限条件，则加权移位算子 $B_w$ 具有超循环子空间。
• 若 $\lim_k \frac{a_{j,k} a_{m,n+k}}{a_{J,k} a_{m_j,n+k}} = 0$ 一致成立，且 $\inf_k \frac{\prod_{\nu=1}^n |w_{\nu+k}| a_{J,k}}{a_{m,n+k}} = 0$，则当 $P(B_w)$ 满足超循环准则时，$P(B_w)$ 具有超循环子空间。
• 整函数空间与快速递减序列空间满足加权移位算子存在超循环子空间所需的增长条件。