[论文解读] Hyperelliptic Curves with Many Automorphisms

N Müller, Richard Pink|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文对具有众多自同构的复超椭圆曲线进行了分类——识别出三个无限族和15个例外情况，并精确确定了其中哪些雅可比簇具有复乘法。作者利用表示论标准和一种新颖的有限域上弗罗贝尼乌斯特征多项式标准，证明了15个例外曲线中的10个其雅可比簇不具有复乘法，而其余5个及所有无限族均具有复乘法，从而解决了弗朗斯·奥尔特关于模空间中特殊点的疑问。

ABSTRACT

We determine all complex hyperelliptic curves with many automorphisms and decide which of their jacobians have complex multiplication.

研究动机与目标

• 对所有具有众多自同构的复超椭圆曲线进行分类，即其自同构群无法在保持完整自同构群的前提下进行非平凡变形。
• 确定这些曲线中哪些其雅可比簇具有复乘法，回应弗朗斯·奥尔特关于此类曲线是否对应模空间中特殊点的疑问。
• 提供具有众多自同构的超椭圆曲线的同构类的完整且简洁的分类，区分无限族与例外情况。
• 开发并应用一种基于有限域上弗罗贝尼乌斯特征多项式的计算标准，以在表示论方法失效时，确凿证明雅可比簇中不存在复乘法。

提出的方法

• 通过分析约化自同构群 G̅ < PGL₂(ℂ) 进行分类，利用沃尔法特定理识别所有可能发生的有限群 G̅。
• 对每个可能的 G̅，利用沙斯卡 [19] 的已知结果和多项式，推导出显式方程，从而在表1中列出所有同构类。
• 对于三个无限族中的曲线，通过其作为费马曲线商的实现方式，确立其雅可比簇具有复乘法。
• 对于5个例外曲线，利用斯特雷特的表示论标准确认复乘法，该标准可确保在群作用下，极化阿贝尔簇无非平凡形变。
• 对于其余10条曲线，通过构造小正亏格的商曲线，并利用基于有限域上弗罗贝尼乌斯特征多项式的全新标准，证明其雅可比簇不具有复乘法。
• 弗罗贝尼乌斯标准依赖于塔特猜想，以及非CM阿贝尔簇的弗罗贝尼乌斯多项式必须具有在ℚ上分裂次数递增的分裂域，该结论通过Sage和GAP进行计算验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些定义在ℂ上的超椭圆曲线具有众多自同构，即其自同构群无法在保持完整自同构群的前提下进行非平凡变形？
• RQ2 在这些曲线中，哪些其雅可比簇具有复乘法，如奥尔特对模空间中特殊点的猜想？
• RQ3 当表示论方法失效时，能否使用基于有限域上弗罗贝尼乌斯特征多项式的计算标准，以确凿排除雅可比簇中的复乘法？
• RQ4 具有众多自同构的超椭圆曲线的同构类的完整列表是什么？其自同构群和雅可比簇在复乘法方面如何表现？

主要发现

• 所有具有众多自同构的超椭圆曲线均属于三个无限族（具有循环或二面体约化自同构群）和15个例外情况（约化群为A₄、S₄或A₅）。
• 所有三个无限族中曲线的雅可比簇均具有复乘法，因为它们是费马曲线的商。
• 在15个例外曲线中的5个（X₄, X₅, X₇, X₉, X₁₄）的雅可比簇具有复乘法，通过斯特雷特的表示论标准得到确认。
• 其余10个例外曲线（X₆, X₈, X₁₀, X₁₁, X₁₂, X₁₃, X₁₅, X₁₆, X₁₇, X₁₈）的雅可比簇不具有复乘法，通过基于新弗罗贝尼乌斯标准的证明得以确立。
• 弗罗贝尼乌斯标准的成功应用，体现在对足够多的良质素数验证：弗罗贝尼乌斯特征多项式的分裂域的次数乘积超过2·g̅，其中g̅为商曲线的亏格。
• 通过Sage和GAP的计算验证确认了所有结果，使用了显式素数（如X₁₀的37、61、157）来证明复乘法的不成立。