[论文解读] Hyperexpansive Weighted Translation Semigroups

Geetanjali M. Phatak, V. M. Sholapurkar|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过其权函数表征了 $L^2(\mathbb{R}_+)$ 上的超扩张加权平移半群，建立了算子半群性质与完全单调函数、完全交错函数等经典函数类之间的联系。研究给出了完全超扩张和 2-超扩张半群的完整表征，基于其符号函数，并分析了此类半群的柯西对偶，表明完全超扩张半群的柯西对偶是次正规的，但 2-超扩张半群的柯西对偶未必是次正规的。

ABSTRACT

The weighted shift operators turn out to be extremely useful in supplying interesting examples of operators on Hilbert spaces. With a view to study a continuous analogue of weighted shifts, M. Embry and A. Lambert initiated the study of a semigroup of operators $\{S_t\}$ indexed by a non-negative real number $t$ and termed it as weighted translation semigroup. The operators $S_t$ are defined on $L^2(\mathbb R_+)$ by using a weight function. In this paper, we continue the work carried out there and obtain characterizations of hyperexpansive weighted translation semigroups in terms of their symbols. We also discuss Cauchy dual of a hyperexpansive weighted translation semigroup. As an application of the techniques developed, we present new proofs of a couple of known results.

研究动机与目标

• 将加权移位算子理论推广到连续情形，利用 $L^2(\mathbb{R}_+)$ 上的加权平移半群。
• 基于其权函数，表征此类半群的超扩张类——完全超扩张、2-超扩张、2-等距以及交错超扩张——的性质。
• 研究超扩张加权平移半群的柯西对偶，并将其性质与加权移位算子的性质进行比较。
• 利用基于符号的算子构造的泛函分析框架，为已知结果提供新的证明。

提出的方法

• 通过正的连续权函数 $\varphi$ 定义 $L^2(\mathbb{R}_+)$ 上的加权平移半群 $\{S_t\}$，其中当 $x \geq t$ 时 $S_t f(x) = \sqrt{\frac{\varphi(x)}{\varphi(x-t)}} f(x-t)$，否则为 0。
• 证明 $\{S_t\}$ 构成一个半群，满足 $S_0 = I$ 且 $S_t \circ S_s = S_{t+s}$，并得到 $\|S_t\| = \|\varphi_t\|_\infty$。
• 利用算子半群类与函数类（完全单调、完全交错、绝对单调函数）之间的关联，表征超扩张半群。
• 应用柯西对偶理论分析对偶半群 $\{S_t'\}$，其中 $S_t' = (S_t^*)^{-1}$，并将其性质与符号 $\varphi$ 关联起来。
• 通过 $\varphi$ 及其导数的微分不等式，判断 $\{S_t\}$ 是否为完全超扩张或 2-超扩张。
• 通过构造 $\varphi(x) = 2x - \log(\cosh(x-10)) + 100$ 的显式例子，表明 2-超扩张半群的柯西对偶未必是次正规的。

实验结果

研究问题

• RQ1 权函数 $\varphi$ 需满足何种条件，才能保证加权平移半群 $\{S_t\}$ 是完全超扩张的？
• RQ2 如何通过 $\varphi$ 的导数表征 $\{S_t\}$ 的 2-超扩张性质？
• RQ3 在何种条件下，超扩张加权平移半群的柯西对偶是次正规或共正规的？
• RQ4 2-超扩张半群的柯西对偶是否可能不是次正规的？如果是，如何构造此类情形？
• RQ5 符号 $\varphi$ 的解析性质（如完全单调性）与 $\{S_t\}$ 的算子理论性质之间存在何种关系？

主要发现

• 当且仅当其权函数 $\varphi$ 是完全交错函数时，加权平移半群 $\{S_t\}$ 是完全超扩张的。
• 当且仅当 $\varphi$ 是凹函数，即对所有 $x \in \mathbb{R}_+$ 有 $\varphi''(x) \leq 0$ 时，半群 $\{S_t\}$ 是 2-超扩张的。
• 完全超扩张加权平移半群的柯西对偶是次正规收缩算子，如命题 4.3 所示。
• 2-超扩张加权平移半群的柯西对偶是共正规收缩算子，如命题 4.6 所确立。
• 构造了一个显式例子，其中 $\varphi(x) = 2x - \log(\cosh(x-10)) + 100$，得到一个 2-超扩张半群，其柯西对偶不是次正规的，因为 $\psi = 1/\varphi$ 不是完全单调函数。
• 绝对单调函数的倒数不一定是完全单调函数，如二次函数情形 $\varphi(x) = x^2 + px + q$（具有复根）所示。