[论文解读] Hypergeometric expansions of the solutions of the general Heun equation governed by two-term recurrence relations for expansion coefficients

Т. А. Ishkhanyan, T. A. Shahverdyan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文提出了一类新的广义合流超几何函数展开，用于求解一般Heun方程，其展开系数在特定参数条件下满足两系数递推关系。主要贡献在于通过伽马函数显式表达这些系数，并利用Clausen广义超几何函数在z=1处对Heun函数进行闭式求值，从而实现基于级数终止的闭式解。

ABSTRACT

We examine the expansions of the solutions of the general Heun equation in terms of the Gauss hypergeometric functions. We present several expansions using functions the forms of which differ from those applied before. In general the coefficients of the expansions obey three-term recurrence relations. However, there exist a certain set of the parameters of the Heun equation for which the recurrence relation becomes two-term. The coefficients of the expansions are then explicitly expressed in terms of the gamma functions and the value adopted by the Heun function at the point z=1 is explicitly calculated in terms of Clausen's generalized hypergeometric function. The conditions for deriving closed-form solutions of the general Heun equation via termination of the series are discussed.

研究动机与目标

• 使用具有不同函数形式的高斯超几何函数，发展一般Heun方程解的新超几何展开。
• 识别在何种参数集合下，展开系数的递推关系可由三系数形式简化为两系数形式。
• 在两系数递推条件下，推导展开系数的显式表达式，以伽马函数表示。
• 在两系数递推条件下，利用Clausen广义超几何函数，对Heun函数在z=1处的值进行闭式求值。
• 分析级数展开终止的条件，从而获得闭式解。

提出的方法

• 通过使用具有新颖函数形式的高斯超几何函数，推导Heun方程的超几何展开。
• 分析控制展开系数的递推关系，识别在何种参数区域内递推关系简化为两项。
• 在递推关系为两系数形式时，利用伽马函数显式计算展开系数。
• 在两系数递推条件下，通过Clausen广义超几何函数求解Heun函数在z=1处的值。
• 识别级数展开终止的条件，从而导出闭式解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种参数条件下，Heun方程展开系数的递推关系可由三系数形式简化为两系数形式？
• RQ2 当递推关系为两系数形式时，如何显式地用伽马函数表示展开系数？
• RQ3 当递推关系为两系数形式时，Heun函数在z=1处的闭式表达式是什么？
• RQ4 级数展开终止并产生闭式解的必要且充分条件是什么？
• RQ5 本研究中用于展开的超几何函数的新函数形式与以往方法相比有何不同与改进？

主要发现

• 当递推关系简化为两项时，展开系数可显式地用伽马函数表示。
• 在两系数递推条件下，Heun函数在z=1处的值可通过Clausen广义超几何函数以闭式给出。
• 存在一组特定参数，使得控制系数的三系数递推关系简化为两系数递推关系。
• 在定义的参数约束下，级数展开会终止，从而得到一般Heun方程的闭式解。
• 本研究中用于展开的超几何函数的函数形式与以往方法不同，为求解Heun方程开辟了新的解析路径。