[论文解读] Hypergeometric Functions II (q-analogues)

I. G. Macdonald|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2013

Mathematical functions and polynomials被引用 4

一句话总结

本文利用对称函数和麦克唐纳多项式引入了多重变量超几何函数的 q-类比，建立了多变量 q-超几何级数的框架。推导了关键恒等式，包括拉普拉斯变换和 Selberg 型积分，并证明了 $_2\Phi_1$ 函数的 q-类比高斯求和公式，为代数组合学和表示论中的 q-特殊函数奠定了基础。

ABSTRACT

This is the typewritten version of a handwritten manuscript which was completed by Ian G. Macdonald in 1987 or 1988. It is the sequel to the manuscript "Hypergeometric functions I." The two manuscripts are very informal working papers, never intended for formal publication. Nevertheless, copies of the manuscripts have circulated widely, giving rise to quite a few citations in the subsequent 25 years. Therefore it seems justified to make the manuscripts available for the whole mathematical community. The author kindly gave his permission that typewritten versions be posted on arXiv.

研究动机与目标

• 使用对称函数理论发展一元和多元 q-类比超几何函数的完整理论。
• 通过麦克唐纳多项式及其对偶基定义多重变量超几何级数 $_r\Phi_s$。
• 在 q-设定下建立基本恒等式，如 q-高斯求和、拉普拉斯变换和 Selberg 积分。
• 利用 $\varepsilon_{u,t}$ 评价同态和 $q$-Pochhammer 符号，将经典超几何恒等式推广到 q-情形。
• 为 q-超几何函数提供一个正式框架，以支持特殊函数和正交多项式领域的未来研究。

提出的方法

• 将 $q$-超几何级数 $_r\Phi_s(\underline{a};\underline{b};x;q,t)$ 定义为使用 $q,t$-Pochhammer 符号和对偶麦克唐纳多项式 $J_\lambda^*$ 的分拆上的求和。
• 利用评价同态 $\varepsilon_{u,t}(J_\lambda) = t^{n(\lambda)}(u;q,t)_\lambda$ 将超几何函数与生成函数联系起来。
• 通过张量积和归一化引入超几何核 $J_\lambda^*(x,y;q,t)$，以在两组变量中定义多重变量 $q$-超几何级数。
• 推导拉普拉斯变换恒等式 $\varepsilon^{(y)}_{t^n,t}(_r\Phi_s(x,y)) = _r\Phi_s(x)$，连接一元与多元情形。
• 通过在 $y_i = t^{i-1}$ 处计算超几何核的评价，建立 $_2\Phi_1$ 的 q-类比高斯求和公式。
• 应用 $q$-积分和 $q$-差分微积分，推导出 Selberg 型积分以及 $_r\Phi_s$ 的变换恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用对称函数将经典超几何函数推广到多变量 q-情形？
• RQ2 在多重变量设定下，$_2\Phi_1$ 的 q-类比高斯求和公式是什么？
• RQ3 拉普拉斯变换和评价同态如何关联一元与多元 $q$-超几何级数？
• RQ4 q-超几何函数满足哪些结构性恒等式和积分表示（例如 Selberg 积分）？
• RQ5 q,t-Pochhammer 符号与麦克唐纳多项式基如何相互作用以定义 $q$-超几何级数？

主要发现

• q-超几何函数 $_0\Phi_0(x;q,t)$ 为 $\prod_{i}(x_i;q)_\infty^{-1}$，推广了经典 $q$-乘积恒等式。
• q-超几何函数 $_1\Phi_0(a;x;q,t)$ 等于 $\prod_{i}(ax_i;q)_\infty / (x_i;q)_\infty$，推广了 $q$-二项式定理。
• 多重变量超几何核满足 $J_\lambda^*(x,y;q,t) = J_\lambda^*(x;q,t)J_\lambda^*(y;q,t)/\varepsilon_{t^n,t}(J_\lambda^*)$，从而可定义 $_r\Phi_s(x,y)$。
• 拉普拉斯变换恒等式 $\varepsilon^{(y)}_{t^n,t}(_r\Phi_s(x,y)) = _r\Phi_s(x)$ 成立，表明一元与多元情形之间的一致性。
• 建立了 q-类比高斯求和公式：$\,_{2}\Phi_{1}(a,b;c;x;q,t)$ 满足类似于经典情形的变换关系。
• 通过 $q$-积分推导出 Selberg 型积分，且 $q$-拉普拉斯变换将 $_r\Phi_s(x,y)$ 映射为 $_{r+1}\Phi_s$，参数发生平移。