[论文解读] Hypergraph Cuts with General Splitting Functions

Nate Veldt, Austin R. Benson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 7

一句话总结

本文提出了一种广义的超图最小 $s$-$t$ 割框架，使用任意分裂函数为不同节点划分方式分配不同的惩罚。研究证明，当且仅当分裂函数是子模函数时，该问题可约化为可解的图 $s$-$t$ 割问题，并识别出问题为 NP-难的区域。该工作进一步扩展至多路割问题，在子模性条件下保持近似性。

ABSTRACT

The minimum $s$-$t$ cut problem in graphs is one of the most fundamental problems in combinatorial optimization, and graph cuts underlie algorithms throughout discrete mathematics, theoretical computer science, operations research, and data science. While graphs are a standard model for pairwise relationships, hypergraphs provide the flexibility to model multi-way relationships, and are now a standard model for complex data and systems. However, when generalizing from graphs to hypergraphs, the notion of a "cut hyperedge" is less clear, as a hyperedge's nodes can be split in several ways. Here, we develop a framework for hypergraph cuts by considering the problem of separating two terminal nodes in a hypergraph in a way that minimizes a sum of penalties at split hyperedges. In our setup, different ways of splitting the same hyperedge have different penalties, and the penalty is encoded by what we call a splitting function. Our framework opens a rich space on the foundations of hypergraph cuts. We first identify a natural class of cardinality-based hyperedge splitting functions that depend only on the number of nodes on each side of the split. In this case, we show that the general hypergraph $s$-$t$ cut problem can be reduced to a tractable graph $s$-$t$ cut problem if and only if the splitting functions are submodular. We also identify a wide regime of non-submodular splitting functions for which the problem is NP-hard. We also analyze extensions to multiway cuts with at least three terminal nodes and identify a natural class of splitting functions for which the problem can be reduced in an approximation-preserving way to the node-weighted multiway cut problem in graphs, again subject to a submodularity property. Finally, we outline several open questions on general hypergraph cut problems.

研究动机与目标

• 形式化并分析具有通用分裂函数的超图 $s$-$t$ 割问题的计算复杂性，该分裂函数为不同节点划分方式分配不同惩罚。
• 确定广义超图 $s$-$t$ 割问题可约化为可解图 $s$-$t$ 割问题的条件。
• 将该框架扩展至多路超图割问题，并在子模性条件下识别保持近似性的约化方法。
• 刻画基于基数和基于移动的分裂函数在可解与 NP-难实例之间的边界。
• 识别广义超图割理论中的开放问题与未来研究方向。

提出的方法

• 作者定义了一种分裂函数，为超边节点划分为两组的每种可能方式分配惩罚，从而推广了标准超边割的概念。
• 他们提出一种图约化技术，使用带辅助节点和加权边的装置来建模每个超边，使得约化后图中的最小 $s$-$t$ 割对应于最小超图割。
• 该框架证明，此类图约化有效当且仅当分裂函数是子模函数，利用子模函数最小化的性质。
• 对于多路割问题，他们定义了基于移动的分裂函数，并证明子模的基于移动的函数可约化为图中的节点加权多路割问题，同时保持近似保证。
• 他们基于已知 NP-难问题的约化结果，包括构造“需求节点”超图，证明非子模函数下的不可解性。
• 该论文采用可解性图谱和参数化分析，映射出参数空间中问题可解或困难的区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种分裂函数条件下，广义超图 $s$-$t$ 割问题可多项式时间求解？
• RQ2 是否每个子模分裂函数都可使用不具指数级辅助节点数的超图 $s$-$t$ 割装置进行建模？
• RQ3 NES-HyperCut 问题（一种特定的基于基数的 $s$-$t$ 割，具有极端权重）是否可在多项式时间内求解或为 NP-难？
• RQ4 对于哪些非子模分裂函数类，广义超图 $s$-$t$ 割问题仍可在多项式时间内求解？
• RQ5 在子模性范围之外，是否可为基于移动的多路超图割建立保持近似的约化？

主要发现

• 广义超图 $s$-$t$ 割问题可多项式时间求解当且仅当分裂函数是子模函数，从而建立了紧致刻画。
• 对于非子模分裂函数，即使在基于基数的情况下，问题也是 NP-难的，通过已知难问题的约化得以证明。
• 当 $w_1 = 1$ 且 $w_2 = 0$ 时，对于 5-均匀超图中的基于基数分裂函数，该问题近似求解也是 NP-难的。
• 一类广泛的基于移动的多路割分裂函数可约化为图中的节点加权多路割问题，从而在子模性条件下实现近似保证。
• 该论文识别出一类基于簇的多路割问题（$h_i = i$）可近似至 $\frac{4}{3}$ 因子，与超图多路划分问题的已知结果一致。
• 仍存在若干开放问题，包括 NES-HyperCut 的复杂性，以及是否存在非子模但依然可解且无需图约化的分裂函数。