[论文解读] Hypergraph Turan numbers of linear cycles

Zoltán Füredi, Tao Jiang|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Feb 11, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用 7

一句话总结

该论文利用delta系统方法，确定了当 $k \geq 5$ 且 $n$ 足够大时，$k$-均匀线性环在超图中的精确Turán数。结果表明，极值族要么是所有与某个固定 $t$-集相交的 $k$-集（当环长 $\ell = 2t+1$ 为奇数时），要么是该族加上所有包含两个固定元素的 $k$-集（当 $\ell = 2t+2$ 为偶数时），从而以更强的形式证实了Mubayi与Verstra€te的猜想。

ABSTRACT

A k-uniform linear cycle of length s is a cyclic list of k-sets A_1,..., A_s such that consecutive sets intersect in exactly one element and nonconsecutive sets are disjoint. For all k at least 5 and s at least 3 and sufficiently large n we determine the largest size of a k-uniform set family on [n] not containing a linear cycle of length s. For odd s=2t+1 the unique extremal family F_S consists of all k-sets in [n] intersecting a fixed t-set S in [n]. For even s=2t+2, the unique extremal family consists of F_S plus all the k-sets outside S containing some fixed two elements. For k at least 4 and large n we also establish an exact result for so-called minimal cycles. For all k at least 4 our results substantially extend Erdos' result on largest k-uniform families without t+1 pairwise disjoint members and confirm, in a stronger form, a conjecture of Mubayi and Verstraete. Our main method is the delta system method.

研究动机与目标

• 确定 $k \geq 5$ 且 $n$ 较大时 $k$-均匀线性环的精确Turán数。
• 将Erdős关于不含 $t+1$ 个两两不相交边的 $k$-均匀族最大大小的结果加以推广。
• 以更强的形式证实Mubayi与Verstra€te关于线性环极值族的猜想。
• 对 $k \geq 4$ 的 $k$-均匀超图中的最小环建立精确结果。

提出的方法

• 应用delta系统方法，特别是[12]和[9]中的工具，分析核度较高的集合系。
• 使用核图 $\mathrm{Ker}_s({\cal F})$ 和 $r$-核图 $\mathrm{Ker}^{(r)}_s({\cal F})$ 识别高重数交集。
• 利用Lovász-Kruskal-Katona阴影定理控制超图 $p$-阴影的大小。
• 应用Frankl定理，对 $2$-核度有界的 $k$-均匀族的最大大小进行控制，以排除禁止配置。
• 基于在核图中构造路径和环的反证法，排除具有特定结构的极值族。
• 实施稳定性论证，表明任何避免线性环的大型族必须在结构上接近由固定 $t$-集定义的极值族。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k \geq 5$ 且 $n$ 较大时，$n$ 个顶点的 $k$-均匀超图中，不包含长度为 $\ell$ 的线性环的最大大小是多少？
• RQ2 当环长 $\ell$ 为奇数或偶数时，极值族的结构如何变化？
• RQ3 能否利用极值集合论，以更强的形式证实Mubayi与Verstra€te关于线性环Turán数的猜想？
• RQ4 当 $k \geq 4$ 时，$k$-均匀超图中最小线性环的精确Turán数是多少？
• RQ5 核度与阴影大小如何约束避免线性环的超图的结构？

主要发现

• 当 $\ell = 2t+1$ 为奇数且 $k \geq 5$ 时，唯一的极值族是所有与固定 $t$-集 $S$ 相交的 $k$-集，其大小为 $\binom{n}{k} - \binom{n-t}{k}$。
• 当 $\ell = 2t+2$ 为偶数且 $k \geq 5$ 时，极值族由所有与固定 $t$-集 $S$ 相交的 $k$-集，加上所有包含 $S$ 外两个固定元素的 $k$-集构成，其大小为 $\binom{n}{k} - \binom{n-t}{k} + \binom{n-t-2}{k-2}$。
• 对于奇数 $\ell$，极值族是唯一的，并且在不包含线性 $\ell$-环的情况下达到最大大小。
• 对于偶数 $\ell = 2t+2$，在给定约束下，极值族同样是唯一的。
• 当 $k \geq 4$ 时，本文建立了最小线性环的精确Turán数，极值族大小被限制在 $\binom{n}{k} - \binom{n-t}{k} + 1$ 以内。
• 稳定性结果表明，任何大小在 $\delta$ 范围内接近极值大小的族，其结构必须接近由固定 $t$-集定义的极值族。