[论文解读] Hyperholomorphic bundles

Misha Verbitsky|ArXiv.org|Jul 29, 1993

Geometry and complex manifolds被引用 9

一句话总结

本文引入了超全纯丛——在超凯勒流形的所有复结构下具有全纯连接的向量丛。证明了此类丛是杨-米尔斯丛，并且具有 $\Bbb H$-不变陈类的稳定丛可赋予超全holomorphic连接；这些丛的形变空间是超凯勒的，且在伊卡纳达乘积之外无更高阶障碍，且与基流形无关。

ABSTRACT

Hyperholomorphic bundle is a bundle with connection defined over a hyperkaehler manifold such that this connection is holomorphic with respect to all complex structures induced by a hyperkaehler structure. A hyperholomorphic connection is Yang-Mills. If a stable bundle has first two Chern classes invariant with respect to ${\Bbb H}$, then it admits a hyperholomorphic connection. Deformation spaces of hyperholomorphic bundles are hyperkaehler. There are no higher obstructions to a deformation besides Ioneda product. This deformation space does not depend on a base manifold.

研究动机与目标

• 定义并研究超全纯丛——即在超凯勒流形的所有复结构下连接全纯的丛。
• 建立稳定向量丛可赋予超全纯连接的条件。
• 分析超全纯丛的形变理论，并证明其形变空间为超凯勒空间。
• 证明形变空间中除伊卡纳达乘积外无更高阶障碍。
• 证明超全纯丛的形变空间不依赖于底层基流形。

提出的方法

• 将超全纯丛定义为：其连接在由超凯勒结构诱导的所有复结构下均为全纯的向量丛。
• 利用超凯勒结构证明：任意超全纯连接自动为杨-米尔斯连接。
• 通过唐纳森-乌伦贝克-杨定理，利用稳定性和前两个陈类在四元数代数 $\Bbb H$ 作用下的不变性，构造超全纯连接。
• 利用科达尔-斯宾塞映射分析超全纯丛的形变空间，并证明其继承了超凯勒结构。
• 证明形变的唯一障碍为伊卡纳达乘积，且更高阶障碍消失。
• 通过证明形变空间仅依赖于陈类与超凯勒几何，而非基流形的具体几何，从而证明其与基流形无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，超凯勒流形上的稳定向量丛可赋予超全纯连接？
• RQ2 超全纯丛的形变空间与底层超凯勒几何有何关系？
• RQ3 超全纯丛形变的障碍性质如何？是否存在超越伊卡纳达乘积的更高阶障碍？
• RQ4 超全纯丛的形变空间能否与基流形无关？
• RQ5 每个超全纯连接是否必然为杨-米尔斯连接？

主要发现

• 超全纯连接在超凯勒流形上自动为杨-米尔斯连接。
• 具有在四元数代数 $\Bbb H$ 作用下不变的第一与第二陈类的稳定丛，可赋予超全纯连接。
• 超全纯丛的形变空间本身即为一超凯勒流形。
• 除伊卡纳达乘积外无任何形变障碍，且更高阶障碍消失。
• 超全纯丛的形变空间不依赖于基超凯勒流形的选择。
• 超全纯连接的构造本质上依赖于超凯勒结构与陈类，而非基流形的具体几何。