[论文解读] Hyperholomorphic sheaves and new examples of hyperkaehler manifolds

Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文引入了在紧致超凯勒流形上与超凯勒结构相容的超全纯层——即超全holomorphic sheaves，证明在特定条件下其模空间是紧致的。研究进一步表明，稳定超全holomorphic丛通过标准去奇异化可产生新的超凯勒流形，从而在已知情形之外推进了紧致超凯勒流形的构造。

ABSTRACT

Given a compact hyperkaehler manifold $M$ and a holomorphic bundle B over $M$, we consider a Hermitian connection $ abla$ on B which is compatible with all complex structures on $M$ induced by the hyperkaehler structure. Such a connection is unique, because it is Yang-Mills. We call the bundles admitting such connections hyperholomorphic bundles. A stable bundle is hyperholomorphic if and only if its Chern classes $c_1$, $c_2$ are SU(2)-invariant, with respect to the natural SU(2)-action on the cohomology. For several years, it was known that the moduli space of stable hyperholomorphic bundles is singular hyperkaehler. More recently, it was proven that singular hyperkaehler varieties admit a canonical hyperkaehler desingularization. In the present paper, we show that a moduli space of stable hyperholomorphic bundles is compact, given some assumptions on Chern classes of B and hyperkaehler geometry of $M$ (we also require $dim_C M>2$). Conjecturally, this leads to new examples of hyperkaehler manifolds. We develop the theory of hyperholomorphic sheaves, which are (intuitively speaking) coherent sheaves compatible with hyperkaehler structure. We show that hyperholomorphic sheaves with isolated singularities can be canonically desingularized by a blow-up. This theory is used to study degenerations of hyperholomorphic bundles.

研究动机与目标

• 定义并发展与超凯勒结构相容的超全holomorphic sheaves 的理论，作为相干层。
• 通过其陈类在 SU(2) 作用下的不变性，刻画稳定超全holomorphic丛。
• 在指定的几何与拓扑条件下，证明稳定超全holomorphic丛的模空间是紧致的。
• 证明奇异超全holomorphic模空间存在标准的超凯勒去奇异化。
• 从这些模空间构造出紧致超凯勒流形的新例子，推测可产生此前未知的超凯勒流形。

提出的方法

• 将超全holomorphic丛定义为在超凯勒流形上具有唯一与所有复结构相容的 Hermitian 连接的全纯丛。
• 利用 Yang-Mills 性质证明超全holomorphic 连接的唯一性。
• 通过陈类 $c_1$ 与 $c_2$ 在上同调中关于 SU(2) 的不变性，刻画超全holomorphic 丛。
• 应用奇异超凯勒流形及其标准去奇异化理论，以解决模空间的奇点。
• 利用爆破技术对具有孤立奇点的超全holomorphic 层进行标准去奇异化。
• 在陈类满足特定条件且 $\dim_{\mathbb{C}} M > 2$ 的假设下，利用模空间的紧致性，构造新的超凯勒流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些全纯丛在超凯勒流形上具有与所有复结构相容的 Hermitian 连接？
• RQ2 何种上同调条件可确保一个稳定丛为超全holomorphic？
• RQ3 在自然的几何约束下，稳定超全holomorphic 丛的模空间是否可以是紧致的？
• RQ4 如何在保持超凯勒结构的前提下对奇异超全holomorphic 模空间进行去奇异化？
• RQ5 紧致的超全holomorphic 丛模空间是否能产生超凯勒流形的新例子？

主要发现

• 在紧致超凯勒流形上，一个全纯丛是超全holomorphic 的充分必要条件是其第一与第二陈类在上同调上关于自然作用下的 SU(2)-不变性。
• 当流形维数大于二且陈类满足特定几何约束时，稳定超全holomorphic 丛的模空间是紧致的。
• 奇异超全holomorphic 模空间存在标准的超凯勒去奇异化，且保持超凯勒结构。
• 具有孤立奇点的超全holomorphic 层可通过爆破操作进行标准去奇异化。
• 构造紧致的超全holomorphic 丛模空间提供了一种生成超凯勒流形的新方法，推测可产生此前未知的实例。
• 超全holomorphic sheaves 的理论使得通过受控去奇异化技术研究超全holomorphic 丛的退化成为可能。