[论文解读] Hyperkaehler manifolds with torsion, supersymmetry and Hodge theory

Misha Verbitsky|ArXiv.org|Dec 20, 2001

Advanced Topics in Algebra被引用 12

一句话总结

该论文在HKT流形上建立了超凯勒-德拉姆代数结构，将经典的凯勒代数推广至非凯勒情形。通过归一化的Dolbeault复形，证明了调和旋量上的SL(2)作用，从而得到一个典范同构 $ H^i(K^{1/2}) \cong H^i(K^{1/2})^* $ 和硬莱夫谢茨定理，将霍奇理论推广至具有挠率的超复赫尔米特流形。

ABSTRACT

Let M be a hypercomplex Hermitian manifold, (M,I) the same manifold considered as a complex Hermitian with a complex structure I induced by the quaternions. The standard linear-algebraic construction produces a canonical nowhere degenerate (2,0)-form on (M,I). It is well known that M is hyperkaehler if and only if the form Ωis closed with respect to the de Rham differential. The M is called HKT (hyperkaehler with torsion) if this form is closed with respect to the Dolbeault differential (this condition is weaker. Conjecturally, all compact hypercomplex manifolds admit an HKT-metrics. We exploit a remarkable analogy between the de Rham DG-algebra of a Kaehler manifold and the Dolbeault DG-algebra of an HKT-manifold. The supersymmetry of a Kaehler manifold is given by an action of an 8-dimensional Lie superalgebra on its de Rham algebra, containing the Lefschetz SL(2)-triple, the Laplacian and the de Rham differential. We establish the action of this superalgebra on the Dolbeault DG-algebra of an HKT-manifold. This is used to construct a canonical Lefschetz-type SL(2)-action on the space of harmonic spinors of M.

研究动机与目标

• 将经典的凯勒超代数与霍奇理论推广至具有挠率的非凯勒超复赫尔米特流形（HKT流形）。
• 利用归一化的Dolbeault复形，在调和旋量空间上构造一个典范的 $ \mathfrak{sl}(2) $-作用。
• 在紧致HKT流形上，为典范线丛平方根 $ K^{1/2} $ 的上同调建立硬莱夫谢茨同构与塞尔对偶性。
• 证明调和旋量空间不依赖于四元数三元组 $ I,J,K $ 中复结构的选择。
• 在HKT流形上几何实现超对称代数，类比凯勒情形。

提出的方法

• 在 $ (M,I) $ 上定义由超复赫尔米特结构诱导的典范 $ (2,0) $-形式 $ \Omega $。
• 在 $ \Lambda^{p,0}(M) \otimes K^{1/2} $ 上引入归一化的Dolbeault微分 $ {}^n\partial $，构成复形 (10.5)。
• 构造归一化的拉普拉斯算子 $ {}^n\Delta = \{{}^n\partial, \partial^*\} $，其上同调同构于调和旋量。
• 在上同调上建立与 $ {}^n\Delta $ 可交换的 $ \mathfrak{sl}(2) $-三元组 $ \langle L\_\Omega, \Lambda\_\Omega, H\_\Omega \rangle $。
• 利用 $ \mathfrak{sl}(2) $-作用证明硬莱夫谢茨同构 $ L\_\Omega^{n-i}: H^i(K^{1/2}) \to H^{2n-i}(K^{1/2}) $。
• 定义配对 $ \langle \eta, \eta' \rangle = L\_\Omega^{n-i}(\eta \wedge J_c(\eta')) \in \mathbb{C} $，实现典范对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的凯勒超代数与霍奇理论能否推广至非凯勒HKT流形？
• RQ2 在紧致HKT流形上，$ K^{1/2} $ 的上同调是否存在典范的 $ \mathfrak{sl}(2) $-作用？
• RQ3 HKT流形上，典范线丛平方根的上同调是否存在硬莱夫谢茨同构？
• RQ4 HKT流形上的调和旋量空间与四元数三元组中复结构的选择有何关系？
• RQ5 能否通过李超代数作用将凯勒流形的超对称代数扩展至HKT几何？

主要发现

• 归一化Dolbeault复形的上同调 $ H^*(K^{1/2}) $ 与HKT流形上的调和旋量空间之间存在典范同构。
• $ \mathfrak{sl}(2) $-三元组 $ \langle L\_\Omega, \Lambda\_\Omega, H\_\Omega \rangle $ 与归一化拉普拉斯算子 $ {}^n\Delta $ 可交换，从而实现硬莱夫谢茨同构。
• 硬莱夫谢茨定理成立：对所有 $ i \leq n $，有 $ L\_\Omega^{n-i}: H^i(K^{1/2}) \to H^{2n-i}(K^{1/2}) $ 是同构。
• 通过 $ \mathfrak{sl}(2) $-作用实现的典范同构 $ H^i(K^{1/2}) \cong H^i(K^{1/2})^* $ 实现了塞尔对偶性。
• $ H^i(K^{1/2}) \times H^i(K^{1/2}) $ 上的配对由 $ \langle \eta, \eta' \rangle = L\_\Omega^{n-i}(\eta \wedge J_c(\eta')) \in \mathbb{C} $ 显式给出。
• $ H^*(K^{1/2}) $ 空间不依赖于四元数三元组 $ I,J,K $ 中复结构 $ I $ 的选择，因此是内在定义的。