[论文解读] Hyperkaehler structures on total spaces of holomorphic cotangent bundles

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 1997

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 27

一句话总结

该论文证明了在Kähler流形 $M$ 上的全纯余切丛 $T^*M$ 的零截面形式邻域中，存在一个由 $M$ 上的Kähler度量唯一确定的 $U(1)$-不变的超凯勒度量。若 $M$ 上的度量为实解析的，则该结构可延拓为 $T^*M$ 中包含 $M$ 的开邻域上的真正超凯勒度量，从而解决了此类空间的猜想，并推广了已知例子。

ABSTRACT

Let $M$ be a Kaehler manifold, and consider the total space $T^*M$ of the cotangent bundle to $M$. We show that in the formal neighborhood of the zero section $M \subset T^*M$ the space $T^*M$ admits a canonical hyperkaehler structure, compatible with the complex and holomorphic symplectic structures on $T^*M$. The associated hyperkaehler metric $h$ coincides with the given Kaehler metric on the zero section $M \subset T^*M$. Moreover, $h$ is invariant under the canonical circle action on $T^*M$ by dilatations along the fibers of $T^*M$ over $M$. We show that a hyperkaehler structure with these properties is unique. When the Kaehler metric on $M$ is real-analytic, we show that this formal hyperkaehler structure can be extended to an open neighborhood of the zero section. We also prove a hyperkaehler analog of the Darboux-Weinstein Theorem. To prove these results, we use the machinery of $R$-Hodge structures, following Deligne and Simpson.

研究动机与目标

• 在Kähler流形 $M$ 上的全纯余切丛 $T^*M$ 的全空间中建立超凯勒结构的存在性。
• 证明此类超凯勒度量可在零截面 $M \subset T^*M$ 的形式邻域中构造，并扩展 $M$ 上的Kähler度量。
• 证明 $U(1)$-不变超凯勒度量在 $M$ 上的全纯对称双曲等变微分同胚下唯一。
• 当基度量为实解析时，将形式超凯勒度量延拓为 $T^*M$ 中包含 $M$ 的开邻域上的实解析度量。
• 将该构造与希钦关于Kähler流形作为 $U(1)$-等变超凯勒流形中不动点集嵌入的问题联系起来。

提出的方法

• 利用 $M$ 上的Kähler度量和纤维上的 $U(1)$-不变性，在 $T^*M$ 的零截面形式邻域中构造超凯勒度量。
• 施加 $U(1)$-不变性以确保扩展度量的唯一性，借助等变性约束解空间。
• 应用全纯联络理论，其 $(2,0)$-曲率与挠率均为零，以定义度量结构，而无需直接依赖度量。
• 使用层上同调中的局部化构造，证明 $U(1)$-等变层复形的消去性，这对存在性证明至关重要。
• 依赖形式达布定理与形变理论，将Kähler结构在形式设定中提升为超凯勒结构。
• 在形式邻域 $\overline{T}M$ 上的霍奇流形结构与实解析函数层的乘法滤子之间建立对应关系，该滤子具有混合霍奇结构性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个Kähler流形 $M$ 上的全纯余切丛 $T^*M$ 是否在零截面的形式邻域中都存在超凯勒度量？
• RQ2 此类超凯勒度量是否可由 $U(1)$-不变性与基Kähler度量唯一确定？
• RQ3 在何种条件下，形式超凯勒度量会收敛为 $T^*M$ 中包含 $M$ 的开邻域上的实解析度量？
• RQ4 在 $\overline{T}M$ 上的霍奇流形结构与 $M$ 上实解析函数层的乘法滤子之间是否存在自然对应？
• RQ5 每个Kähler流形是否都能作为某个 $U(1)$-等变超凯勒流形中 $U(1)$-作用的不动点集实现？

主要发现

• 对任意Kähler流形 $M$，在 $T^*M$ 的零截面形式邻域中存在一个 $U(1)$-不变的超凯勒度量，且该度量扩展了基度量。
• 由于 $U(1)$-不变性约束，该超凯勒度量在 $M$ 上的全纯对称双曲等变微分同胚下唯一。
• 若 $M$ 上的Kähler度量为实解析的，则形式超凯勒度量收敛为 $T^*M$ 中包含 $M$ 的开邻域上的实解析超凯勒度量。
• 该构造为希钦关于将Kähler流形作为 $U(1)$-不动点集嵌入 $U(1)$-等变超凯勒流形的问题提供了肯定答案。
• 在 $\overline{T}M$ 上霍奇流形结构的芽与 $\mathcal{O}_{\mathbb{R}}(M) \otimes \mathbb{C}$ 上的乘法滤子之间建立了自然双射，使得相关三元组构成一个混合 $\mathbb{R}$-霍奇结构。
• 滤子的第一非平凡部分对应于 $M$ 上的全纯函数层，且整个滤子由其 $F^{-1}$-部分唯一确定。