[论文解读] Hyperkahler manifolds and nonabelian Hodge theory of (irregular) curves

Philip Boalch|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 30

一句话总结

本文将非交换 Hodge 理论推广至不规则曲线——即具有亚纯联络与 Higgs 纤维丛的紧致黎曼曲面——并证明相关的 Higgs 纤维丛模空间（Dolbeault）、联络模空间（De Rham）以及表示模空间（Betti）均为超凯勒流形。关键贡献在于表明，这些模空间，特别是在 $E_8$ 情况下，微分同胚于已知的超凯勒流形，如 ALE 空间，其显式几何实现通过在奇点三次曲线上进行 $ p^2$ 的爆破构造而成。

ABSTRACT

Short survey based on talk given at the Institut Henri Poincare January 17th 2012, during program on surface groups. The aim was to describe some background results before describing in detail (in subsequent talks) the results of [Boa11c] related to wild character varieties and irregular mapping class groups.

研究动机与目标

• 将非交换 Hodge 理论从紧致曲线推广至具有亚纯奇点的不规则曲线。
• 确立在不规则曲线上具有亚纯 Higgs 纤维丛与联络的模空间为超凯勒流形。
• 通过在奇点三次曲线上的点爆破 $ p^2$，显式描述这些超凯勒流形的几何实现，特别是 $E_8$ 情况。
• 尽管具有不同的代数结构，通过解析同构连接 Betti、Dolbeault 与 De Rham 模空间。
• 通过允许的形变与模空间上的代数结构，将映射类群作用的概念推广至不规则曲线。

提出的方法

• 利用非交换 Hodge 对应关系，关联不规则曲线上 Dolbeault（Higgs 纤维丛）、De Rham（联络）与 Betti（表示）模空间。
• 通过无限维空间的超凯勒商构造这些模空间上的超凯勒结构，推广有限维 ALE 商构造。
• 通过在具有零和的尖点三次曲线上的 9 个点爆破 $ p^2$，实现特定的超凯勒流形——如 $E_8$ 型 ALE 空间。
• 证明当 9 个点在群运算下和为零时，所得曲面 $S$ 同构于 Dolbeault 模空间 $ cal M_{\text{Dol}}(E_8)$；当和不为零时，$S \cong \ncal M_{\text{DR}}(E_8)$，且非零和因缩放而无关紧要。
• 利用黎曼–希尔伯特对应关系，建立 $ cal M_{\text{DR}}$ 与 $ cal M_{\text{B}}$ 之间的解析同构，尽管不存在代数同构。
• 应用高斯–曼宁联络，推导非线性等单变系统，推广 Picard–Fuchs 与 Painlevé 方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有亚纯 Higgs 纤维丛与联络的不规则曲线上，模空间如何继承超凯勒结构？
• RQ2 来自 $E_8$ 型不规则曲线的超凯勒流形的几何实现是什么？
• RQ3 尽管具有不同的代数结构，Betti、Dolbeault 与 De Rham 模空间在不规则曲线上是否仍可解析同构？
• RQ4 不规则曲线的允许形变如何推广映射类群在特征簇上的作用？
• RQ5 这些模空间在多大程度上通过在 $ p^2$ 上的爆破构造，推广经典 ALE 超凯勒流形？

主要发现

• 在 $E_8$ 情况下，模空间 $ cal M_{\text{Dol}}(E_8)$ 同构于通过在尖点三次曲线上和为零的 9 个点爆破 $ p^2$ 所得的复曲面 $S$。
• 当 9 个点的和不为零时，同一曲面 $S$ 同构于 De Rham 模空间 $ cal M_{\text{DR}}(E_8)$，且非零和因缩放而无关紧要。
• 仅使用 8 个点时，所得曲面同构于开的、光滑的仿射模空间 $ cal M^*(E_8)$，其包含一个 $E_8$ 型 $(-2)$-曲线配置。
• Betti 空间 $ cal M_{\text{B}}(E_8)$ 与 De Rham 空间解析同构，但几何上不同，其来源于 $ p^2$ 中的节点三次曲线，且 8 个点位于其光滑部分。
• 模空间的开子集 $ cal M^*$ 同构于 $A_n$、$D_n$、$E_6$、$E_7$ 或 $E_8$ 型的 ALE 超凯勒流形，推广了 Kronheimer 的构造。
• 模空间上的超凯勒结构作为无限维空间的超凯勒商构造而成，与有限维 ALE 商构造形成对比。