[论文解读] Hypersonic limit of two-dimensional steady compressible Euler flows passing a straight wedge

Aifang Qu, Hairong Yuan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用 8

一句话总结

该论文通过分析可压缩欧拉流在绝热指数 γ 趋近于 1 时的极限，为二维直楔体超音速流的牛顿理论提供了严格的数学证明，此时对应无穷大的马赫数。论文构造了一类包含在楔体表面具有狄拉克测度的奇异测度解，并证明带有激波的弱解在 γ→1 时以弱收敛方式趋于该测度解，从而表明在双曲守恒律中必须考虑测度值解。

ABSTRACT

We formulated a problem on hypersonic limit of two-dimensional steady non-isentropic compressible Euler flows passing a straight wedge. It turns out that Mach number of the upcoming uniform supersonic flow increases to infinite may be taken as the adiabatic exponent $γ$ of the polytropic gas decreases to $1$. We proposed a form of the Euler equations which is valid if the unknowns are measures and constructed a measure solution contains Dirac measures supported on the surface of the wedge. It is proved that as $γ o1$, the sequence of solutions of the compressible Euler equations that containing a shock ahead of the wedge converge vaguely as measures to the measure solution we constructed. This justified the Newton theory of hypersonic flow passing obstacles in the case of two-dimensional straight wedges. The result also demonstrates the necessity of considering general measure solutions in the studies of boundary-value problems of systems of hyperbolic conservation laws.

研究动机与目标

• 通过可压缩欧拉方程在绝热指数 γ→1 时的极限，严格证明牛顿关于楔体超音速流的理论。
• 证明超音速极限对应于 γ→1，而非压强趋于零，并涉及一种独特的奇异性。
• 为极限情况（γ=1）构造一个在楔体表面支撑狄拉克测度的测度解。
• 证明带有激波的弱解序列在 γ→1 时趋于该奇异测度解的弱收敛性。
• 在双曲守恒律的边值问题中，确立考虑广义测度解的必要性。

提出的方法

• 将二维定常可压缩欧拉方程以适用于测度值未知量的广义形式进行表述。
• 提出欧拉系统的新表述，使楔体边界上的狄拉克测度可作为解结构的一部分。
• 通过推导楔体表面狄拉克测度权重的显式表达式，构造 γ=1 时的奇异测度解。
• 利用特征线法与激波极图分析，研究带有激波的弱解在 γ→1 时的极限行为。
• 证明弱解序列（以测度表示）在 γ→1 时趋于所构造的奇异测度解的弱收敛性。
• 通过分部积分与测试函数方法，验证极限测度解在分布意义下满足欧拉方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当二维楔体前缘的定常可压缩欧拉方程的马赫数趋于无穷大时，解会如何变化？
• RQ2 超音速极限如何与多方气体状态方程中的物理参数 γ→1 对应？
• RQ3 能否严格构造出在楔体表面具有狄拉克测度的奇异测度解，以描述超音速极限？
• RQ4 带有激波的弱解序列是否以某种明确的方式收敛于该测度解？
• RQ5 在超音速极限中，奇异性具有何种性质，它与无压气体或查普利金气体模型中的 δ-激波有何不同？

主要发现

• 当绝热指数 γ→1 时，来流超音速流的马赫数趋于无穷大，对应于超音速极限。
• 包含楔体前方激波的弱解序列在 γ→1 时以弱收敛方式趋于奇异测度解。
• 极限测度解在楔体表面包含狄拉克测度，其权重与 sin²θ / cosθ 乘以局部 x 坐标成正比。
• 极限中压强在每一点及测度意义下均趋于零，动量与能量通量则集中于楔体边界。
• 收敛性在分布意义下成立，极限测度解满足欧拉方程的弱形式。
• 该结果严格证明了牛顿关于直楔体超音速流的理论是可压缩欧拉方程在极限情况下的合理结果，凸显了在多维双曲守恒律中必须考虑测度解的必要性。