[论文解读] Hyperspherical Functions and Linear Representations of the Lorentz Group

В. В. Варламов|arXiv (Cornell University)|May 9, 2002

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文通过将双覆盖群 $SL(2,\mathbb{C})$ 视为 $SU(2)$ 的复化，建立了超球函数与洛伦兹群有限维表示之间的联系。通过 $SL(2,\mathbb{C})$ 表示的矩阵元推导出超球函数的递推关系，证明其等价于超几何函数的乘积，并将其与 $(j,0)\oplus(0,j)$ 表示空间中的物理场联系起来。

ABSTRACT

A double covering of the proper orthochronous Lorentz group is understood as a complexification of the special unimodular group of second order (a double covering of the 3-dimensional rotation group). In virtue of such an interpretation the matrix elements of finite-dimensional representations of the Lorentz group are studied in terms of hyperspherical functions. Different forms of the hyperspherical functions related to other special functions (hypergeometric series, generalized spherical functions, Jacobi functions, Appell functions) are considered. It is shown that there is a close relationship between hyperspherical functions and physical fields defined within $(j,0)\oplus(0,j)$ representation spaces. Recurrence relations between hyperspherical functions are given.

研究动机与目标

• 建立一个系统框架，将超球函数与洛伦兹群的有限维表示联系起来。
• 探讨 $SL(2,\mathbb{C})$ 作为 $SU(2)$ 的复化在构造这些函数中的作用。
• 推导在权重 $l$ 变化 $\frac{1}{2}$ 时超球函数的递推关系，以实现代数化处理。
• 将超球函数与 $(j,0)\oplus(0,j)$ 表示空间中的物理场联系起来，特别是在旋量场的背景下。
• 以特殊函数（如超几何级数、Appell 函数和雅可比函数）的形式表达超球函数。

提出的方法

• 采用洛伦兹群的范德瓦尔登表示法，将 $SL(2,\mathbb{C})$ 识别为正交性洛伦兹群的双覆盖。
• 应用欧拉参数化，将 $SL(2,\mathbb{C})$ 表示的矩阵元表达为超球函数。
• 通过将 $l=\frac{1}{2}$ 与一般 $l$ 的不可约表示的张量积进行分解，并利用克莱布施-戈尔丹系数，推导出递推关系。
• 将超球函数表达为超几何函数的乘积，并通过变换恒等式将其与 Appell 函数和雅可比函数关联。
• 利用 $SL(2,\mathbb{C})$ 的复结构，将 $SU(2)$ 上的广义球函数推广至洛伦兹群。
• 使用由 $3j$-符号导出的矩阵元 $\bar{b}^{m}_{ik}$，构建不同 $l$ 和 $m$ 的 $\mathfrak{M}^{l}_{jm}$ 函数之间的递推关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将超球函数推导为洛伦兹群有限维表示的矩阵元？
• RQ2 超球函数与超几何级数、Appell 函数和雅可比函数等特殊函数之间存在何种关系？
• RQ3 超球函数的递推关系如何从 $SL(2,\mathbb{C})$ 表示的张量积分解中产生？
• RQ4 超球函数以何种方式对应于 $(j,0)\oplus(0,j)$ 表示空间中的物理场？
• RQ5 将 $SU(2)$ 复化为 $SL(2,\mathbb{C})$ 如何实现球谐函数向洛伦兹群的推广？

主要发现

• 证明了超球函数是洛伦兹群有限维表示的矩阵元，可表达为超几何函数的乘积。
• 通过将 $l=\frac{1}{2}$ 与一般 $l$ 的表示张量积进行分解，推导出 $\mathfrak{M}^{l}_{jm}$ 的递推关系，得到四条不同的关系式，涉及 $\mathfrak{M}^{l+\frac{1}{2}}_{jm}$、$\mathfrak{M}^{l-\frac{1}{2}}_{jm}$ 和相位因子。
• $\mathfrak{M}^{l}_{jm}$ 函数满足递推关系，其系数包含 $\cos\frac{\theta}{2}\cosh\frac{\tau}{2}$、$\sin\frac{\theta}{2}\sinh\frac{\tau}{2}$ 以及 $\epsilon, \varphi, \psi$ 的复指数。
• 递推关系以由 $3j$-符号导出的 $\bar{b}^{m}_{ik}$ 矩阵表示，其元素为 $\frac{l_2 - m + \frac{1}{2}}{2l_2 + 1}$ 和 $\frac{l_2 + m + \frac{1}{2}}{2l_2 + 1}$。
• 通过 $SL(2,\mathbb{C})$ 参数化与旋量结构，将超球函数与 $(j,0)\oplus(0,j)$ 表示空间中的物理场联系起来。
• 本文确立了超球函数是 $SU(2)$ 上广义球函数的复化，将盖尔范德与夏皮罗的工作推广至洛伦兹群。