[论文解读] Hypersurface arrangements and a global Brieskorn-Orlik-Solomon theorem

Clément Dupont|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 7

一句话总结

本文为光滑射影复流形中超曲面排列的补集的上同调发展了一个全局模型，推广了 Deligne 对法向交叉除子的结果。通过微分形式的对数形式与权重滤过，将 Orlik-Solomon 代数扩展至全局设定，建立了与美妙紧化及曲线上的配置空间的联系。

ABSTRACT

We give a model for the cohomology of the complement of a hypersurface arrangement inside a smooth projective complex variety. This generalizes the case of normal crossing divisors, which is due to P. Deligne as a by-product of the mixed Hodge theory of smooth complex varieties. Our model is a global version of the Orlik-Solomon algebra, which computes the cohomology of the complement of a union of hyperplanes in an affine space. The main tool is the complex of logarithmic forms along a hypersurface arrangement, and its weight filtration. Connections with wonderful compactifications and the configuration spaces of points on curves are also studied.

研究动机与目标

• 将 Deligne 对法向交叉除子的混合 Hodge 理论结果推广至光滑射影代数簇中的任意超曲面排列。
• 利用对数微分形式构建超曲面排列补集的上同调模型。
• 将经典 Orlik-Solomon 代数（最初用于仿射空间中的超平面排列）推广至全局几何设定。
• 探索超曲面排列的上同调模型与美妙紧化以及代数曲线上的配置空间之间的联系。

提出的方法

• 以超曲面排列上的对数微分形式复形作为核心代数工具。
• 在对数复形上应用权重滤过，以提取上同调信息。
• 构建一个捕捉射影设定下补集上同调的 Orlik-Solomon 代数的全局版本。
• 通过沿排列的子簇进行爆破，将上同调模型与美妙紧化的几何联系起来。
• 分析对数 de Rham 复形与曲线上点的配置空间之间的相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Orlik-Solomon 代数从超平面排列推广至射影簇中的任意超曲面排列？
• RQ2 对数形式上的权重滤过在计算补集上同调中起到何种作用？
• RQ3 美妙紧化如何自然地从超曲面排列的上同调模型中出现？
• RQ4 曲线上点的配置空间与超曲面排列补集的上同调之间存在何种关系？

主要发现

• 利用对数微分形式与权重滤过，构建了超曲面排列补集的全局上同调模型。
• 该模型将 Deligne 对法向交叉除子的结果推广至光滑射影复流形中的任意超曲面排列。
• 证明了补集的上同调同构于由对数 de Rham 复形导出的某个复形的上同调。
• 美妙紧化作为自然紧化形式出现，反映了对数形式上权重滤过结构。
• 该模型在几何上建立了超曲面补集上同调与代数曲线上配置空间之间的联系。