[论文解读] Hypersurface exceptional singularities

Shihoko Ishii, Yuri Prokhorov|ArXiv.org|Oct 23, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过将问题约化为加权齐次情形，对复空间中的超曲面例外奇点进行分类，证明了此类奇点仅有有限多个。全文完全确定了三维空间中所有例外型Brieskorn奇点，利用非退化的加权齐次函数及其相关不变量，建立了该类别的完整分类。

ABSTRACT

This paper studies hypersurface exceptional singularities in $\mathbb C^n$ defined by non-degenerate function. For each canonical hypersurface singularity, there exists a weighted homogeneous singularity such that the former is exceptional if and only if the latter is exceptional. So we study the weighted homogeneous case and prove that the number of weights of weighted homogeneous exceptional singularities are finite. Then we determine all exceptional singularities of the Brieskorn type of dimension 3.

研究动机与目标

• 通过加权齐次约化方法，对复n维空间中的超曲面例外奇点进行分类。
• 证明加权齐次例外奇点的权系统数量是有限的。
• 完全确定三维空间中所有Brieskorn型例外奇点。
• 通过非退化函数及其相关的牛顿多面体，建立例外奇点的判别准则。
• 将典范超曲面奇点与其加权齐次对应物联系起来，同时保持其例外性质。

提出的方法

• 通过挠率几何与形变理论，将一般超曲面奇点的研究约化为加权齐次情形。
• 应用关于牛顿非退化性条件的非退化函数理论。
• 利用加权齐次结构定义并计算典范除子与分歧度。
• 应用如下判别准则：奇点为例外当且仅当所有分歧度均为正。
• 通过其指数及非例外性的条件，对Brieskorn奇点进行分类。
• 利用如下事实：例外奇点对应于在特定的爆破下典范除子非有效的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在C^n中，哪些加权齐次超曲面奇点是例外的？
• RQ2 在加权齐次情形下，有多少种不同的权系统可定义例外奇点？
• RQ3 三维空间中所有例外型Brieskorn奇点的完整列表是什么？
• RQ4 在何种条件下，非退化函数可定义例外奇点？
• RQ5 典范超曲面奇点的例外性质如何与其加权齐次形变相关联？

主要发现

• 仅有有限多个权系统可产生加权齐次例外奇点。
• 三维空间中所有例外型Brieskorn奇点均已完全分类，并被明确列出。
• 典范超曲面奇点为例外，当且仅当其对应的加权齐次奇点为例外。
• 例外性质由奇点解消过程中分歧度的正性决定。
• 三维Brieskorn奇点的例外性分类取决于其指数满足特定的算术条件。
• 具有孤立奇点的非退化函数为例外，当且仅当其关联的牛顿多面体满足典范除子的正性条件。