[论文解读] Hypersurfaces in H^{n+1} and conformally invariant equations: the generalized Christoffel and Nirenberg problems

José M. Espinar, José A. Gálvez+1 more|ArXiv.org|Jun 15, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 48被引用 9

一句话总结

本文在球面上共形不变的偏微分方程与双曲空间 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中的超曲面之间建立了深度对应关系，表明 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中的广义克里斯托费尔问题等价于 $\mathbb{S}^n$ 上预设标量曲率的尼伦伯格问题。论文引入了双曲曲率半径，并利用双曲高斯映射将 $\mathbb{S}^n$ 上共形度量的施瓦茨张量与 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中超曲面的主曲率联系起来，证明了 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中具有常数威因加滕曲率的超曲面必为标准球面。

ABSTRACT

Our first objective in this paper is to give a natural formulation of the Christoffel problem for hypersurfaces in $H^{n+1}$, by means of the hyperbolic Gauss map and the notion of hyperbolic curvature radii for hypersurfaces. Our second objective is to provide an explicit equivalence of this Christoffel problem with the famous problem of prescribing scalar curvature on $§^n$ for conformal metrics, posed by Nirenberg and Kazdan-Warner. This construction lets us translate into the hyperbolic setting the known results for the scalar curvature problem, and also provides a hypersurface theory interpretation of such an intrinsic problem from conformal geometry. Our third objective is to place the above result into a more general framework. Specifically, we will show how the problem of prescribing the hyperbolic Gauss map and a given function of the hyperbolic curvature radii in $H^{n+1}$ is strongly related to some important problems on conformally invariant PDEs in terms of the Schouten tensor. This provides a bridge between the theory of conformal metrics on $§^n$ and the theory of hypersurfaces with prescribed hyperbolic Gauss map in $\H^{n+1}$. The fourth objective is to use the above correspondence to prove that for a wide family of Weingarten functionals $W(\k_1,..., \k_n)$, the only compact immersed hypersurfaces in $H^{n+1}$ on which $W$ is constant are round spheres.

研究动机与目标

• 通过双曲高斯映射提出 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中超曲面的克里斯托费尔问题，并引入双曲曲率半径作为欧氏曲率半径的自然替代。
• 建立 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中克里斯托费尔问题与 $\mathbb{S}^n$ 上共形度量标量曲率预设问题（尼伦伯格问题）之间的显式等价关系。
• 通过将预设双曲高斯映射与双曲曲率半径函数的问题与涉及施瓦茨张量的共形不变偏微分方程联系起来，将该对应关系置于更广泛的框架中。
• 将该对应关系应用于证明：对于一大类威因加滕泛函，$\mathbb{H}^{n+1}$ 中具有常数 $\mathcal{W}$ 的紧致浸入超曲面必为标准球面。

提出的方法

• 将双曲高斯映射 $G: M^n \to \mathbb{S}^n$ 定义为 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中欧氏高斯映射的自然类比。
• 定义双曲曲率半径为 $\mathcal{R}_i = 1/|1 - \kappa_i|$，其中 $\kappa_i$ 为主曲率，以推广 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中的克里斯托费尔问题。
• 构建 $\mathbb{S}^n$ 上共形度量 $g = e^{2\rho}g_0$ 与 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中具有预设双曲高斯映射和曲率半径的超曲面之间的双向对应关系。
• 通过公式 $2\lambda_i = \frac{\kappa_i + 1}{\kappa_i - 1}$ 将 $\mathbb{S}^n$ 上度量 $g$ 的施瓦茨张量的特征值 $\lambda_i$ 与 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中超曲面的主曲率 $\kappa_i$ 联系起来。
• 利用协密克方程与空间形式中的威因加滕曲面理论，证明：若威因加滕泛函 $\mathcal{W}(\kappa_1, \dots, \kappa_n)$ 为常数且其偏导数满足符号条件，则该超曲面必为全脐的。
• 证明通过水平面度量构造法诱导的 $M^n$ 上的度量为局部共形平坦且整体定义良好，其施瓦茨张量特征值为 $1/(4\lambda_i)$，其中 $\lambda_i$ 为 $\mathbb{S}^n$ 上对应共形度量的施瓦茨张量特征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏标准高斯映射的情况下，经典克里斯托费尔问题能否自然地推广到双曲空间 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中的超曲面？
• RQ2 是否存在一种几何对应关系，将 $\mathbb{S}^n$ 上的共形度量与 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中的超曲面联系起来，使得施瓦茨张量与主曲率相对应？
• RQ3 尼伦伯格问题中在 $\mathbb{S}^n$ 上预设标量曲率，与 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中预设曲率半径的几何问题之间，其对应关系在多大程度上成立？
• RQ4 在何种条件下，$\mathbb{H}^{n+1}$ 中具有常数 $\mathcal{W}$ 的紧致浸入超曲面必为标准球面？
• RQ5 共形度量在 $\mathbb{S}^n$ 上的施瓦茨张量特征值与对应超曲面在 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中的主曲率之间有何关系？

主要发现

• 通过涉及双曲高斯映射与双曲曲率半径的几何对应关系，$\mathbb{H}^{n+1}$ 中的广义克里斯托费尔问题等价于 $\mathbb{S}^n$ 上预设标量曲率的尼伦伯格问题。
• 共形度量 $g = e^{2\rho}g_0$ 在 $\mathbb{S}^n$ 上的施瓦茨张量特征值 $\lambda_i$ 与对应超曲面在 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中的主曲率 $\kappa_i$ 满足关系式 $2\lambda_i = \frac{\kappa_i + 1}{\kappa_i - 1}$。
• 对于任意光滑函数 $\mathcal{W}: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，若当 $\kappa_i = \kappa_j$ 时有 $\frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \kappa_i} \frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \kappa_j} > 0$，则 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中具有常数 $\mathcal{W}$ 的唯一紧致浸入超曲面为标准球面。
• 在二维情形下，若 $\mathbb{S}^2$ 上共形度量的施瓦茨张量特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 满足 $\mathcal{W}(\lambda_1, \lambda_2) = 0$，且当 $\lambda_1 = \lambda_2$ 时有 $\frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \lambda_1} \frac{\partial \mathcal{W}}{\partial \lambda_2} > 0$，则该度量为标准度量在分式线性变换下的拉回。
• 超曲面在 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中的水平面度量在 $M^n$ 上诱导出一个整体定义良好、局部共形平坦的度量，其施瓦茨张量特征值为 $1/(4\lambda_i)$，其中 $\lambda_i$ 为 $\mathbb{S}^n$ 上对应共形度量的施瓦茨张量特征值。
• 共形度量在 $\mathbb{S}^n$ 上与 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中超曲面之间的对应关系与共形嵌入的选择无关，从而保证了 $M^n$ 上度量 $g^*$ 的良好定义。