[论文解读] Hypersurfaces with degenerate duals and the Geometric Complexity Theory Program

J. M. Landsberg, Laurent Manivel+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 15

一句话总结

本文为在 $\mathbb{P}^{N-1}$ 中的 $d$ 次超曲面的对偶簇维数至多为 $k$ 的情形，给出了显式的定义方程，并应用这些方程证明了 Mulmuley-Sohoni 轨道闭包 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ 是 $n$ 次超曲面中对偶簇维数至多为 $2n-2$ 的集合的一个不可约分支。本文建立了永久多项式边界复杂度的二次下界 $\overline{dc}({\operatorname{perm}_m}) \geq m^2/2$，解决了几何复杂度理论中的一个关键开放问题。

ABSTRACT

We determine set-theoretic defining equations for the variety of hypersurfaces of degree d in an N-dimensional complex vector space that have dual variety of dimension at most k. We apply these equations to the Mulmuley-Sohoni variety, the GL_{n^2} orbit closure of the determinant, showing it is an irreducible component of the variety of hypersurfaces of degree $n$ in C^{n^2} with dual of dimension at most 2n-2. We establish additional geometric properties of the Mulmuley-Sohoni variety and prove a quadratic lower bound for the determinental border-complexity of the permanent.

研究动机与目标

• 确定在 $\mathbb{P}^{N-1}$ 中对偶簇维数至多为 $k$ 的 $d$ 次超曲面的集合论定义方程的集合 $\mathrm{Dual}_{k,d,N}$。
• 将这些方程应用于 Mulmuley-Sohoni 变体 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$，证明其为 $\mathrm{Dual}_{2n-2,n,n^2}$ 的一个不可约分支。
• 证明边界复杂度 $\overline{dc}(\operatorname{perm}_m)$ 的二次下界，优于此前的线性下界。
• 在 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ 的理想中构造一个显式的 $GL_{n^2}$-模 $V_n$，首次为该轨道闭包提供了显式方程。
• 证明轨道闭包 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ 严格包含 $\mathrm{End}(M_n(\mathbb{C})) \cdot [\det_n]$，揭示了 $dc$ 与 $\overline{dc}$ 之间可能存在差距。

提出的方法

• 使用 Katz 维数公式，将对偶簇的维数与齐次多项式 $P$ 的 Hessian 矩阵的秩联系起来。
• 应用 Kempf-Weyman 的去奇异化方法，计算子空间簇 $\mathrm{Sub}_{k+2}(S^d W^*)$ 的切空间，该簇参数化那些是 $k$-维子簇的锥的超曲面。
• 在 $S^n(M_n(\mathbb{C}))^*$ 上构造一个 $GL_{n^2}$-模 $V_n$，其为次数为 $n(n-1)$ 的齐次多项式，具有指定的最高权，以定义轨道闭包的方程。
• 分析 Hessian 衍射展开中 $\epsilon^2$ 阶项，推导出 $\mathrm{Dual}_{k,d,N}$ 的切空间的约束，证明其包含于子空间簇的切空间中。
• 使用极化与对称张量分解，将 Hessian 二次型内在地表示为 $H_{P,w}(X) = P(w,\dots,w,X,X)$。
• 应用轨道闭包与表示论理论，识别出 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ 为 $V_n$ 的零点集的一个不可约分支。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{P}^{N-1}$ 中，对偶簇维数至多为 $k$ 的 $d$ 次超曲面的集合 $\mathrm{Dual}_{k,d,N}$ 的集合论定义方程是什么？
• RQ2 Mulmuley-Sohoni 轨道闭包 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ 是否为 $\mathrm{Dual}_{2n-2,n,n^2}$ 的一个不可约分支？
• RQ3 能否为边界复杂度 $\overline{dc}(\operatorname{perm}_m)$ 建立一个二次下界，优于已知的线性下界？
• RQ4 轨道闭包 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ 是否严格包含 $\mathrm{End}(M_n(\mathbb{C})) \cdot [\det_n]$ 的像？
• RQ5 在 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ 上消失的正则函数的理想结构如何？能否在其中构造一个显式的 $GL_{n^2}$-模？

主要发现

• 证明了 $\mathrm{Dual}_{k,d,N}$ 具有 $\mathrm{Sub}_{k+2}(S^d \mathbb{C}^N)$ 作为其约化且不可约的分支，其定义方程由 Hessian 秩条件导出。
• 证明了 Mulmuley-Sohoni 变体 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ 是 $\mathrm{Dual}_{2n-2,n,n^2}$ 的一个不可约分支，即 $n$ 次超曲面中对偶簇维数至多为 $2n-2$ 的集合。
• 建立了二次下界 $\overline{dc}(\operatorname{perm}_m) \geq m^2/2$，优于此前已知的最佳线性界。
• 在 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ 的理想中构造了一个显式的 $GL_{n^2}$-模 $V_n$，其最高权为 $n(n-1)(n-2)\omega_1 + (2n^2 - 4n - 1)\omega_2 + 2\omega_{2n+1}$，首次为该轨道闭包提供了显式方程。
• 对于奇数 $n$，在 $\overline{GL_{n^2} \cdot [\det_n]}$ 的边界中展示了一个余维数为一的 $GL_{n^2}$-轨道，但其不包含于 $\mathrm{End}(M_n(\mathbb{C})) \cdot [\det_n]$ 中，从而证明了对某些多项式 $P_m$ 有 $\overline{dc}(P_m) < dc(P_m)$。
• 切空间计算表明，对于 $P \in \mathrm{Sub}_{k+2}(S^d W^*)$，有 $\hat{T}_{[P]}\mathrm{Dual}_{k,d,N} \subseteq S^d U^* \oplus S^{d-1}U^* \otimes V^*$，确认了子空间簇为一个分支。