[论文解读] Hypersurfaces with small extrinsic radius or large $\\lambda_1$ in Euclidean spaces

Erwann Aubry, Jean-François Grosjean+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 7

一句话总结

该论文证明，若 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的超曲面在 Reilly 或 Hasanis-Koutroufiotis 不等式下近乎极值——即外蕴半径较小或第一特征值 $\lambda_1$ 较大——且其平均曲率满足 $L^p$ 有界（$p>n$），则该超曲面在度量和谱意义上均接近于球面。在第二基本形式满足额外 $L^q$ 有界（$q>n$）的条件下，其在 Lipschitz 意义下也接近于球面，但当 $q\leq n$ 时，其未必微分同胚于球面。这些结果推广了关于球面型超曲面在谱与几何夹紧条件下的稳定性定理。

ABSTRACT

We prove that hypersurfaces of $\\R^{n+1}$ which are almost extremal for the Reilly inequality on $\\lambda_1$ and have $L^p$-bounded mean curvature ($p>n$) are Hausdorff close to a sphere, have almost constant mean curvature and have a spectrum which asymptotically contains the spectrum of the sphere. We prove the same result for the Hasanis-Koutroufiotis inequality on extrinsic radius. We also prove that when a supplementary $L^q$ bound on the second fundamental is assumed, the almost extremal manifolds are Lipschitz close to a sphere when $q>n$, but not necessarily diffeomorphic to a sphere when $q\\leqslant n$.

研究动机与目标

• 研究 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中近乎实现 Reilly 或 Hasanis-Koutroufiotis 不等式等号的超曲面的几何与谱稳定性。
• 确定在何种曲率可积性条件下，此类超曲面在 Gromov-Hausdorff、Lipschitz 或谱意义下接近于球面。
• 通过引入平均曲率的 $L^p$-有界与第二基本形式的 $L^q$-有界，推广先前的稳定性结果。
• 分析近乎极值超曲面的渐近谱行为，并证明其谱收敛于标准球面的谱。

提出的方法

• 以 Reilly 不等式 $\lambda_1 \leq n\|H\|_2^2$ 与 Hasanis-Koutroufiotis 不等式 $\|H\|_2 R_{\text{ext}} \geq 1$ 为核心工具，将极值超曲面刻画为球面。
• 引入夹紧条件 $(P_{p,\varepsilon})$、$(R_{p,\varepsilon})$ 与 $(\Lambda_{p,\varepsilon})$，通过平均曲率与几何量的 $L^p$-范数量化近乎极值性。
• 应用 Moser 迭代与 Sobolev 不等式，控制特征函数的 $L^\infty$-范数，并将其与谱与曲率有界性关联。
• 构造逼近区域序列 $\Omega_{i,\eta,\varepsilon}$ 以模拟近乎球面超曲面的几何结构，并利用截断函数 $\psi_\varepsilon$ 将原流形上的 $L^2$-范数与逼近区域上的 $L^2$-范数关联。
• 利用极小-极大原理比较原超曲面与逼近区域的特征值，证明当 $\varepsilon \to 0$ 时谱收敛。
• 通过在局部坐标上使用 $y \mapsto y^d$ 的覆盖构造，生成具有双球面型谱的序列，当 $q \leq n$ 时，展示出非微分同胚但谱收敛的反例。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Reilly 不等式中近乎极值（$\lambda_1 \approx n\|H\|_2^2$）时，何种条件下可推出超曲面在 Gromov-Hausdorff 或 Lipschitz 拓扑下接近于球面？
• RQ2 平均曲率的 $L^p$-有界（$p>n$）与第二基本形式的 $L^q$-有界（$q>n$）如何影响近乎极值超曲面的度量与谱稳定性？
• RQ3 近乎极值超曲面是否可能在 Hausdorff 或 Lipschitz 距离下接近球面，却非微分同胚于球面？若可能，其在何种曲率可积性条件下成立？
• RQ4 当夹紧参数 $\varepsilon \to 0$ 时，近乎极值超曲面的谱在多大程度上收敛于标准球面的谱？
• RQ5 第二基本形式的 $L^q$-范数在决定超曲面是否微分同胚于球面方面起何种作用？

主要发现

• 当 $q>n$ 时，若平均曲率满足 $L^p$-有界（$p>2$）且第二基本形式满足 $L^q$-有界，则近乎极值超曲面与半径为 $1/\|H\|_2$ 的球面在 $C\varepsilon^\alpha$-Hausdorff 意义下接近，其中 $\alpha = \alpha(q,n)$。
• 此类超曲面的平均曲率在所有 $r \in [1,q)$ 的 $L^r$-范数下几乎为常数，满足 $\||H| - \|H\|_2\|_r \leq C\varepsilon^\beta\|H\|_2$，其中 $\beta = \alpha(q-r)/(r(q-1))$。
• 对任意固定半径 $r>0$，在逼近球面上以 $r/\|H\|_2$ 为半径的球帽的归一化体积，一致收敛于对应球帽的体积，相对误差不超过 $\eta$。
• 当 $q>n$ 时，超曲面在 Lipschitz 意义下接近于球面；但若 $q\leq n$，即使其在 Hausdorff 意义下接近，也可能不微分同胚于球面。
• 近乎极值超曲面上拉普拉斯算子的谱渐近包含标准球面的谱，其特征值在 $\varepsilon \to 0$ 时收敛于 $\mathbb{S}^n$ 的特征值。
• 通过在局部坐标上使用 $y \mapsto y^d$ 的构造，可生成谱收敛于两个不相交的 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n-2} \times [0,\pi/2]$ 的超曲面序列，表明当 $q\leq n$ 时，谱收敛并不蕴含微分同胚于球面。