[论文解读] Hypocoercivity based Sensitivity Analysis and Spectral Convergence of the Stochastic Galerkin Approximation to Collisional Kinetic Equations with Multiple Scales and Random Inputs

Liu Liu, Shi Jin|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2017

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 26被引用 3

一句话总结

本论文建立了一个基于次可微性的框架，用于对具有随机输入和多尺度的碰撞型动力学方程应用随机伽辽金（SG）方法的敏感性分析与谱收敛性研究。论文证明了解和数值误差随时间呈指数衰减，并在正交多项式满足较弱条件时，展示了gPC-SG方法的谱精度。

ABSTRACT

In this paper, we provide a general framework to study general class of linear and nonlinear kinetic equations with random uncertainties from the initial data or collision kernels, and their stochastic Galerkin approximations, in both incompressible Navier-Stokes and Euler (acoustic) regimes. First, we show that the general framework put forth in [C. Mouhot and L. Neumann, Nonlinearity, 19, 969-998, 2006, M. Briant, J. Diff. Eqn., 259, 6072-6141, 2005] based on hypocoercivity for the deterministic kinetic equations can be easily adopted for sensitivity analysis for random kinetic equations, which gives rise to an exponential convergence of the random solution toward the (deterministic) global equilibrium, under suitable conditions on the collision kernel. Then we use such theory to study the stochastic Galerkin (SG) methods for the equations, establish hypocoercivity of the SG system and regularity of its solution, and spectral accuracy and exponential decay of the numerical error of the method in a weighted Sobolev norm.

研究动机与目标

• 开发一种针对初始数据和碰撞核中存在随机不确定性的线性和非线性动力学方程的敏感性分析通用框架。
• 将次可微性理论从确定性情形扩展至随机动力学方程，确保在包含随机空间的加权Sobolev范数下解指数收敛至平衡态。
• 分析此类方程的随机伽辽金（SG）方法，建立SG系统的次可微性与正则性。
• 证明gPC-SG近似中数值误差的谱精度与指数时间衰减。
• 将结果推广至具有随机输入的不可压缩Navier-Stokes与Euler（声学）标度情形。

提出的方法

• 通过将加权Sobolev范数中的随机变量纳入估计，将Mouhot与Neumann（2006）以及Briant（2015）的次可微性框架适配至随机动力学方程。
• 采用gPC（广义多项式混沌）随机伽辽金离散化方法，对随机空间中的解进行近似，将问题转化为相空间与随机空间中的确定性系统。
• 为带有随机输入的线性化碰撞算子建立强一致性估计，确保gPC-SG方法的谱精度。
• 在加权$L^2$与Sobolev范数中推导能量估计，以证明解与误差随时间的指数衰减。
• 应用柯西-施瓦茨不等式与非线性分解技术（例如，$\mathcal{F}(h,h) - \mathcal{F}(h^K,h^K) = \mathcal{F}(h-h^K,h) + \mathcal{F}(h^K,h-h^K)$）以控制误差方程中的非线性项。
• 利用具有有界导数的正交多项式展开及对求积规则的较弱条件，确保稳定性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 次可微性框架能否被扩展以量化初始数据与碰撞核中存在随机不确定性的动力学方程的敏感性？
• RQ2 在包含随机变量的加权Sobolev范数下，随机动力学方程的解是否指数收敛至确定性的全局平衡态？
• RQ3 对于具有随机输入与多尺度的动力学方程，随机伽辽金方法是否具有谱精度？
• RQ4 gPC-SG近似中的数值误差是否随时间呈指数衰减？在何种条件下成立？
• RQ5 该分析能否推广至无界随机域、非正交多项式或边界值问题？

主要发现

• 在碰撞核满足较弱条件时，动力学方程的随机解在包含随机变量的加权Sobolev范数下，以速率$e^{-\tau t}$指数收敛至确定性的全局平衡态。
• 对于随机伽辽金系统，建立了次可微性，确保在物理空间与随机空间中均存在唯一解且具有正则性。
• gPC-SG方法在随机空间中实现了谱精度，误差以$O(K^{-r})$的速率衰减，其中$K$为多项式阶数，$r$为正则性指标。
• 在给定假设下，总数值误差$||e^K||_{H_{x,v}^s L_z^2}$以$e^{-\tau_1 t}$的速率随时间指数衰减，且$\tau_1 > 0$。
• 误差估计在随机变量$z$上一致成立，且时间衰减结果对解的期望值与方差均成立。
• 该分析适用于不可压缩Navier-Stokes（$\alpha=1$）与Euler（声学，$\alpha=0$）标度情形，并可推广至Boltzmann、Landau与半经典松弛模型。