[论文解读] Hypotheses testing on infinite random graphs

Daniil Ryabko|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2017

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用 5

一句话总结

该论文通过将遍历理论的概念从平稳时间序列扩展到图结构，建立了一个在无限随机图上进行一致假设检验的框架。它证明了在无限树中，诸如马尔可夫性等性质的一致检验是存在的，将经典统计一致性推广至在平稳性和遍历性假设下的图结构数据。

ABSTRACT

Drawing on some recent results that provide the formalism necessary to definite stationarity for infinite random graphs, this paper initiates the study of statistical and learning questions pertaining to these objects. Specifically, a criterion for the existence of a consistent test for complex hypotheses is presented, generalizing the corresponding results on time series. As an application, it is shown how one can test that a tree has the Markov property, or, more generally, to estimate its memory.

研究动机与目标

• 将经典统计假设检验推广至无限随机图，解决现有方法中缺乏通用备择假设的问题。
• 在图论和随机过程的奠基性工作基础上，形式化定义无限随机图的平稳性和遍历性。
• 为无限图中复杂假设的一致检验建立准则，类比于平稳时间序列中的相关结果。
• 将该框架应用于检验无限树中的结构性质，如马尔可夫性质和记忆阶数。
• 开启在平稳无限图上学习与统计分析的新研究方向，包括压缩、聚类和预测。

提出的方法

• 将时间序列中的平稳性和遍历性概念适配至无限随机图，采用Aldous、Lyons、Benjamini与Curien建立的形式化体系。
• 将随机游走（或树中的“下行行走”）定义为从无限图中收集数据的自然且一致的方法。
• 通过相同的遍历理论基础，将时间序列假设检验中的关键结果——特别是一致性准则——转移至图结构设置。
• 通过将问题约化为时间序列检验问题，将一致性准则应用于特定图性质，如马尔可夫性质和有限记忆结构。
• 利用行走路径上的经验分布来估计底层图分布，在平稳性和遍历性条件下确保收敛性。
• 通过应用已知的时间序列一致检验（例如Ryabko & Astola, 2006）于行走过程中观察到的顶点标签或结构序列，构建一致检验。

实验结果

研究问题

• RQ1 在先前研究中缺乏通用备择假设的前提下，能否为无限随机图上的复杂假设构造一致检验？
• RQ2 在何种条件下，存在对无限随机图是马尔可夫或具有有限记忆的假设的一致检验？
• RQ3 如何利用无限图中平稳性和遍历性的框架，将经典统计推断推广至图结构数据？
• RQ4 不同的采样方法（如随机游走）对无限图上学习与检验的一致性有何影响？
• RQ5 该框架能否支持更广泛的机器学习任务，如图压缩、聚类或预测，类比于时间序列中的应用？

主要发现

• 在所有平稳遍历树的集合中，存在对k阶马尔可夫树集合及其补集的一致检验。
• 在平稳遍历树的空间中，不存在对所有有限记忆树集合及其补集的一致检验。
• 图性质的一致检验存在性可通过对随机游走路径上序列的观察，约化为等价的时间序列检验问题。
• 该框架通过依赖平稳性和遍历性，将经典统计一致性推广至无限图，确保经验分布的收敛性。
• 结果表明，诸如记忆阶数等结构性质可在无限图中进行统计检验，将统计学习的适用范围扩展至图数据。
• 该框架为图压缩、聚类和预测等学习任务开辟了新途径，熵率可能作为理论极限，类比于时间序列中的情形。