[论文解读] Hypothesis Testing for Equality of Latent Positions in Random Graphs

Xin-Jie Du, Minh Tang|arXiv (Cornell University)|May 23, 2021

Complex Network Analysis Techniques参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于邻接矩阵或归一化拉普拉斯矩阵的谱嵌入的马氏距离的假设检验方法，用于检验广义随机点积图中潜在位置的相等性。在温和的正则性条件下，检验统计量在原假设和局部备择假设下渐近服从卡方分布，从而可实现对随机块模型（SBM）、度数校正变体（DC-SBM）和 Erdős–Rényi 模型的模型选择，并推导出用于功效分析的理论非中心参数。

ABSTRACT

We consider the hypothesis testing problem that two vertices $i$ and $j$ of a generalized random dot product graph have the same latent positions, possibly up to scaling. Special cases of this hypothesis test include testing whether two vertices in a stochastic block model or degree-corrected stochastic block model graph have the same block membership vectors, or testing whether two vertices in a popularity adjusted block model have the same community assignment. We propose several test statistics based on the empirical Mahalanobis distances between the $i$th and $j$th rows of either the adjacency or the normalized Laplacian spectral embedding of the graph. We show that, under mild conditions, these test statistics have limiting chi-square distributions under both the null and local alternative hypothesis, and we derived explicit expressions for the non-centrality parameters under the local alternative. Using these limit results, we address the model selection problems including choosing between the standard stochastic block model and its degree-corrected variant, and choosing between the ER model and stochastic block model. The effectiveness of our proposed tests are illustrated via both simulation studies and real data applications.

研究动机与目标

• 开发统计假设检验方法，以判断随机图中两个顶点的潜在位置是否相等（允许缩放）。
• 解决随机块模型（SBM）、度数校正 SBM（DC-SBM）和 Erdős–Rényi（ER）模型之间的模型选择挑战。
• 在广义随机点积图（GRDPG）框架下，为顶点层面潜在位置相等性提供渐近有效的推断。
• 通过检验节点之间的结构相似性，支持顶点提名和角色发现等应用。
• 推导局部备择假设下的非中心参数，用于功效分析与经验验证。

提出的方法

• 基于邻接矩阵或归一化拉普拉斯矩阵的谱嵌入中第 i 个和第 j 个行之间的经验马氏距离，提出检验统计量。
• 利用图矩阵的谱嵌入，在 GRDPG 模型下获得潜在位置的一致估计。
• 推导在原假设和局部备择假设下检验统计量的渐近卡方分布，并给出明确的非中心参数。
• 应用极限分布对顶点层面潜在位置相等性（包括缩放不变性）进行假设检验。
• 采用 500 次重复的蒙特卡洛模拟，评估在不同稀疏度水平下的经验大小与功效。
• 利用真实政治博客数据验证理论结果，显示经验功效与理论预测高度一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否利用谱嵌入，基于马氏距离检验广义随机点积图中两个顶点的潜在位置是否相等（可能仅相差缩放）？
• RQ2 在原假设和局部备择假设下，基于马氏距离的检验统计量的渐近分布是什么？
• RQ3 如何利用这些检验统计量在 SBM、DC-SBM 和 ER 模型等竞争网络模型之间进行选择？
• RQ4 在局部备择假设下，非中心卡方分布的显式非中心参数是什么？它们如何影响检验功效？
• RQ5 渐近近似在有限样本中表现如何，特别是在不同稀疏度水平下？

主要发现

• 在原假设下，检验统计量 $ T_{\text{out}} $、$ T_{\text{in}} $ 和 $ T_{\text{both}} $ 分别渐近服从 $ \chi^2_3 $、$ \chi^2_3 $ 和 $ \chi^2_6 $ 分布，经验直方图与理论卡方密度高度吻合。
• 在所有稀疏度水平下，$ T_{\text{out}} $ 和 $ T_{\text{both}} $ 的经验大小估计值均接近名义显著性水平 0.05，证实了正确的大小控制。
• $ T_{\text{in}} $ 和 $ T_{\text{both}} $ 的经验功效随稀疏度增加而上升，在 $ \rho = 1.0 $ 时分别达到 0.956 和 0.844，与理论功效预测值高度一致。
• 局部备择假设下的理论非中心参数被准确估计，并与观测到的功效强相关，验证了渐近理论的有效性。
• 在政治博客数据集中，所提检验成功识别出顶点间的结构相似性，支持其在顶点提名等实际应用中的实用性。
• 该方法可有效实现模型选择，基于顶点层面潜在位置相等性检验，区分 SBM、DC-SBM 和 ER 模型。