[论文解读] Δ(i)/GI/1: A New Queueing Model For Transitory Queueing Systems

Harsha Honnappa, Rahul Jain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 34被引用 5

一句话总结

本文引入了Δ(i)/GI/1队列模型，这是一种针对瞬态系统的新型模型，其中到达时间为从分布F中独立同分布抽取的样本，形成顺序统计量。通过斯科罗赫德反射和布朗桥过程，建立了流体极限与扩散极限，表明在M1拓扑下存在弱收敛，但在J1拓扑下不成立，且在自由、反射和零扩散过程之间存在状态切换。

ABSTRACT

We introduce the {\Delta}(i)/GI/1 queue, a new queueing model. In this model, customers from a given population independently sample a time to arrive from some given distribution F. Thus, the arrival times are an ordered statistics, and the inter-arrival times are differences of consecutive ordered statistics. They are served by a single server which provides service according to a general distribution G, with independent service times. The exact model is analytically intractable. Thus, we develop fluid and diffusion limits for the various stochastic processes, and performance metrics. The fluid limit of the queue length is observed to be a reflected process, while the diffusion limit is observed to be a function of a Brownian motion and a Brownian bridge process, and is given by a 'netput' process and a directional derivative of the Skorokhod reflected fluid netput in the direction of a diffusion refinement of the netput process. We also observe what may be interpreted as a transient Little's law. Sample path analysis reveals various operating regimes where the diffusion limit switches between a free diffusion, a reflected diffusion process and the zero process, with possible discontinuities during regime switches. The weak convergence is established in the M1 topology, and it is also shown that this is not possible in the J1 topology.

研究动机与目标

• 对到达时间为分布F中独立同分布样本、从而形成顺序统计量的瞬态队列系统进行建模。
• 分析此类系统中队列长度与性能指标的随机行为，这些系统在解析上难以处理。
• 为队列过程建立流体极限与扩散极限，以捕捉瞬态动态特性。
• 在M1拓扑下建立弱收敛性，并证明其在J1拓扑下不成立。
• 识别出扩散极限在自由扩散、反射扩散与零过程之间切换的运行状态。

提出的方法

• 将到达建模为从分布F中独立同分布抽取的样本，导致到达时间为顺序统计量。
• 将到达间隔时间定义为连续顺序统计量之间的差值。
• 采用具有通用服务时间分布G的单服务器队列，且各客户的服务时间相互独立。
• 通过斯科罗赫德反射，推导出队列长度过程的流体极限为反射过程。
• 建立扩散极限，其为布朗运动与布朗桥的函数，涉及斯科罗赫德反射流体净输出的方向导数。
• 证明在M1拓扑下存在弱收敛，由于状态切换期间的路径不连续性，其在J1拓扑下不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当到达间隔时间为顺序统计量差值时，如何对具有独立同分布到达时间（分布为F）的队列系统进行建模？
• RQ2 此类系统中队列长度过程的流体极限与扩散极限是什么？
• RQ3 扩散极限在不同运行状态下的行为如何，特别是在自由、反射与零过程之间的转换期间？
• RQ4 为何该模型在M1拓扑下可实现弱收敛，但在J1拓扑下不能？
• RQ5 能否从该队列系统的样本路径分析中推导出瞬态版本的利特尔定律？

主要发现

• 队列长度过程的流体极限是由于斯科罗赫德反射而产生的反射过程，能够捕捉非负性约束。
• 扩散极限表示为布朗运动与布朗桥的函数，反映了净输出与路径精细化的共同影响。
• 扩散极限在自由扩散、反射扩散与零过程之间表现出状态切换，切换点可能存在不连续性。
• 弱收敛在M1拓扑下成立，该拓扑可容纳状态转换期间的不连续性，但在J1拓扑下不成立。
• 通过样本路径分析观察到瞬态版本的利特尔定律，将系统内容与净输出及服务特性联系起来。