[论文解读] Ideal closures of Busemann space and singular Minkowski space

P. D. Andreev|ArXiv.org|May 7, 2004

Advanced Differential Geometry Research参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文研究了布塞曼空间中理想边界构造的两种不同方法——通过将空间嵌入到常数模的连续函数空间中得到的粗略理想闭包，以及通过渐近射线得到的弱理想边界。文章建立了从粗略边界到弱边界的连续满射投影，并证明了尽管在许多情况下（例如 CAT(0) 空间）这两种闭包一致，但在单位球面不光滑的奇异闵可夫斯基空间中它们存在差异。主要贡献在于刻画了奇异闵可夫斯基空间中布塞曼函数作为旗向序列的霍罗函数极限的性质。

ABSTRACT

We discuss two different in general natural approaches to the ideal closure and ideal boundary of Busemann nonpositively curved metric space. It is shown that the identity map of the space admits surjective continuation from its coarse ideal closure to the weak one. We consider some situations when these closures coincide, and when they are essentially different. In particular, the singular Minkowski space is studied as flat Busemann space, and some types of its ideal points are described.

研究动机与目标

• 比较布塞曼空间中两种自然的理想边界构造：通过嵌入到 C*(X) 得到的粗略闭包，以及通过渐近射线得到的弱闭包。
• 确定这两种闭包在何种条件下一致，何种条件下不同，特别是在非光滑情形下。
• 分析奇异闵可夫斯基空间中理想边界的结构，这类空间是单位球面非光滑且严格凸的平坦布塞曼空间。
• 刻画奇异闵可夫斯基空间中布塞曼函数作为旗向序列距离函数极限的性质。
• 建立从粗略理想边界到弱理想边界的投影映射，并分析其性质。

提出的方法

• 将粗略理想边界 ∂cX 定义为 X 在嵌入到 C*(X) = C(X)/{常数} 后的像的边界。
• 将弱理想边界 ∂wX 定义为在渐近关系下等价类的集合。
• 构造一个从 X̄c 到 X̄w 的连续满射投影 Pr: X̄c → X̄w，其在 X 上的限制为恒等映射。
• 利用方向空间中单位球面的逆高斯映射，将粗略理想点与范数奇点的几何特征联系起来。
• 刻画奇异闵可夫斯基空间 A^n 中的布塞曼函数为沿水平阶数为 1 或更高的旗向序列的距禋函数 d_xk 的极限。
• 对旗向序列的阶数使用归纳法，证明距禋函数收敛于霍罗函数，从而确立投影映射 pr: FD → ∂cA^n。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，布塞曼空间的粗略与弱理想闭包一致？
• RQ2 闵可夫斯基空间单位球面中奇点的存在如何影响其理想边界的结构？
• RQ3 在奇异闵可夫斯基空间中会产生何种类型的布塞曼函数，它们如何通过霍罗函数极限表示？
• RQ4 投影映射 Pr: X̄c → X̄w 与几何数据（如单位球面的高斯像）有何关联？
• RQ5 旗向序列在多大程度上唯一确定奇异闵可夫斯基空间中的霍罗函数？

主要发现

• 存在一个从粗略理想闭包到弱理想闭包的连续满射投影 Pr: X̄c → X̄w，其在 X 上的限制为恒等映射。
• 该投影 Pr 一般不是同胚映射，且两种闭包之间的差异在奇异闵可夫斯基空间中最为明显。
• 在奇异闵可夫斯基空间中，粗略理想点对应于单位球面的逆高斯映射，从而将几何奇点与理想边界结构联系起来。
• 奇异闵可夫斯基空间中的布塞曼函数以两种方式出现：来自具有正则方向的射线，或作为具有奇异方向的旗向序列的极限。
• 从旗向序列到粗略理想边界的投影映射 pr: FD → ∂cA^n 是良定义的，且仅依赖于方向旗和渐近平面。
• 由阶数 p > 1 的旗向序列生成的霍罗函数在有界集上一致收敛，且具有相同旗和渐近平面的序列生成相同的霍罗函数。