[论文解读] Ideal Membership in Polynomial Rings over the Integers

Matthias Aschenbrenner|ArXiv.org|May 12, 2003

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文为整数环上多项式环中的理想成员问题建立了双重指数级的次数界，表明若多项式 $ f_0 $ 属于由 $ f_1, \dots, f_n $ 生成的理想（$ f_0 \in \text{Z}[X] $），则存在多项式 $ g_1, \dots, g_n \in \text{Z}[X] $，使得 $ f_0 $ 可表示为这些多项式的组合，其次数被限制在 $ (2d)^{2^{O(N^2)}}(h+1) $ 以内，其中 $ d $ 为最大总次数，$ h $ 为最大系数高度。该结果通过提供整数环上理想成员问题的原始递归算法，解决了克罗内克问题，并将赫尔曼定理推广至算术环。

ABSTRACT

We present a new approach to the ideal membership problem for polynomial rings over the integers: given polynomials $f_0,f_1,...,f_n\in\Z[X]$, where $X=(X_1,...,X_N)$ is an $N$-tuple of indeterminates, are there $g_1,...,g_n\in\Z[X]$ such that $f_0=g_1f_1+...+g_nf_n$? We show that the degree of the polynomials $g_1,...,g_n$ can be bounded by $(2d)^{2^{O(N^2)}}(h+1)$ where $d$ is the maximum total degree and $h$ the maximum height of the coefficients of $f_0,...,f_n$. Some related questions, primarily concerning linear equations in $R[X]$, where $R$ is the ring of integers of a number field, are also treated.

研究动机与目标

• 解决整数环上多项式环中的理想成员问题，这是构造性代数中长期悬而未决的开放问题。
• 将赫尔曼在域上多项式环中理想成员问题的次数界结果，推广至 $ \text{Z}[X] $ 的算术设定，其中系数算术引入了新的复杂性。
• 为 $ \text{Z}[X] $ 中的理想成员问题提供一个原始递归算法，从而解决固定变量数下的克罗内克问题。
• 分析解的次数对输入多项式次数与系数高度的依赖关系，表明仅以次数为参数的统一界在 $ \text{Z}[X] $ 中是不可能的。
• 将结果推广至数域整数环上的多项式环，为线性系统与理想素性检验建立类似的界。

提出的方法

• 将赫尔曼在域上多项式环中用于有界化关系式次数的经典方法，适配至整数环 $ \text{Z}[X] $，并考虑算术约束。
• 通过将问题约化为在 $ \text{Z}[X] $ 上求解大型线性方程组，其界由 $ R[X] $ 中线性方程解的结构导出，其中 $ R $ 为数域的整数环。
• 应用在 Dedekind 环上求解线性丢番图方程的理论结果，对 $ R $ 上线性系统解的高度与次数建立界。
• 为表示 $ f_0 $ 为 $ f_1, \dots, f_n $ 组合的多项式 $ g_1, \dots, g_n $ 建立 $ (2d)^{2^{O(N^2)}}(h+1) $ 的次数界，其中 $ d $ 为最大总次数，$ h $ 为最大系数高度。
• 利用 Wainer 层次的原始递归函数族来界定解的大小，表明对于固定的 $ N $，该算法是原始递归的，尽管其增长速率极高。
• 证明在假设整数环上线性系统可在对数空间内求解的前提下，$ \text{Z}[X] $ 中的理想成员问题为指数空间完全问题，从而将该问题与计算复杂性理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $ \text{Z}[X] $ 中的理想成员问题构造一个原始递归算法，从而解决克罗内克问题？
• RQ2 在给定输入多项式次数与高度界的情况下，$ \text{Z}[X] $ 中表示式 $ f_0 = g_1f_1 + \cdots + g_nf_n $ 的多项式 $ g_1, \dots, g_n $ 的最优次数界是什么？
• RQ3 与域的情形相比，系数高度 $ h $ 的依赖关系如何影响 $ \text{Z}[X] $ 中理想成员问题的复杂性？
• RQ4 能否将 $ \text{Z}[X] $ 中的理想成员问题约化为在 $ \text{Z} $ 上求解线性方程组？此类方程组的规模界限是什么？
• RQ5 理想成员问题在 $ \text{Z}[X] $ 中的计算复杂性如何？它与指数空间完全性有何关联？

主要发现

• 本文为表示式 $ f_0 = g_1f_1 + \cdots + g_nf_n $ 中的多项式 $ g_1, \dots, g_n $ 建立了 $ (2d)^{2^{O(N^2)}}(h+1) $ 的次数界，其中 $ d $ 为最大总次数，$ h $ 为输入多项式的最大系数高度。
• 该界在变量数 $ N $ 上为双重指数级，且依赖于次数与系数高度，表明在 $ \text{Z}[X] $ 中仅依赖于 $ d $ 与 $ N $ 的统一界是不可能的。
• 该结果意味着对于任意固定的 $ N $，$ \text{Z}[X] $ 中的理想成员问题可通过原始递归算法求解，从而在该设定下解决了克罗内克问题。
• 本文证明了 $ \text{Z}[X] $ 中的理想成员问题为指数空间难问题，且在假设整数环上线性系统可对数空间求解的前提下，其为指数空间完全问题。
• 对于数域 $ F $ 的整数环 $ \text{O}_F $ 上的多项式环，解的次数界为 $ [F:\text{Q}] \times C_2 \times (2d)^{2^{O(N^2)}} $，其中 $ C_2 $ 仅依赖于 $ F $。
• 本文提供了一种用于判断 $ \text{Z}[X] $ 中理想是否为素理想的标准，结合了在 $ \text{Q}[X] $ 中的素性、模素数约化与整性条件，所有这些条件均为初等递归的。