[论文解读] Ideal structure of the C*-algebra of Thompson group T

Collin Bleak, Kate Juschenko|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文建立了 Haagerup 和 Olesen 结果的逆定理，证明 Thompson 群 F 非阿赐诺当且仅当存在一个有限子集 H ⊂ T，其可分解为不相交的 H₁ 和 H₂，使得 g ∈ H₁ 的 π(g) 之和等于 h ∈ H₂ 的 π(h) 之和，且由 ∑_{g∈H₁} λ(g) − ∑_{h∈H₂} λ(h) 生成的闭理想是整个约化 C*-代数 C∗_λ(T)。作者引入了 Powers 关于群 C*-代数简化的条件的弱化版本，表明该条件不足以证明 C∗_λ(T) 的简化性，并利用一种新的 Ping-Pong 引理变体，在具有有理旋转数的圆周同胚群中构造出自由子群。

ABSTRACT

In a recent paper Uffe Haagerup and Kristian Knudsen Olesen show that for Richard Thompson's group $T$, if there exists a finite set $H$ which can be decomposed as disjoint union of sets $H_1$ and $H_2$ with $\sum_{g\in H_1}π(g)=\sum_{h\in H_2}π(h)$ and such that the closed ideal generated by $\sum_{g\in H_1}λ(g)-\sum_{h\in H_2}λ(h)$ coincides with $C^*_λ(T)$, then the Richard Thompson group $F$ is not amenable. In particular, if $C_λ^*(T)$ is simple then $F$ is not amenable. Here we prove the converse, namely, if $F$ is not amenable then we can find two sets $H_1$ and $H_2$ with the above properties. The only currently available tool for proving simplicity of group $C^*$-algebra is Power's condition. We show that it fails for $C_λ^*(T)$ and present an apparent weakening of that condition which could potentially be used for various new groups $H$ to show the simplicity of $C_λ^*(H)$. While we use our weakening in the proof of the first result, we also show that the new condition is still too strong to be used to show the simplicity of $C_λ^*(T)$. Along the way, we give a new application of the Ping-Pong Lemma to find free groups as subgroups in groups of homeomorphisms of the circle generated by elements with rational rotation number.

研究动机与目标

• 本文旨在建立 Haagerup 和 Olesen 结果的逆定理，该结果将 C∗_λ(T) 的简化性与 F 的非阿赐诺性联系起来。
• 研究 F 的非阿赐诺性是否等价于 C∗_λ(T) 的简化性，这是几何群论中的一个核心公开问题。
• 作者试图开发一种弱于 Powers 准则的简化性证明条件，以适用于约化 C*-代数的简化性。
• 他们旨在证明，尽管该新条件更具灵活性，但仍不足以确立 C∗_λ(T) 的简化性。
• 一个关键目标是将一种新型的 Ping-Pong 引理应用于检测具有有理旋转数的圆周同胚群中的自由子群。

提出的方法

• 主定理的证明依赖于在假设 F 非阿赐诺的前提下，构造一个有限子集 H ⊂ T，其可分解为不相交的 H₁ 和 H₂，使得 ∑_{g∈H₁} π(g) = ∑_{h∈H₂} π(h)。
• 作者使用一种新的 Ping-Pong 引理变体（引理 12）证明，当某些群元素作用在具有有理旋转数的圆周上时，可生成自由子群。
• 他们构造了一个旋转数为 1/p 的非挠元 ˜g，其具有唯一大小为 p 的轨道，并定义 g = γ^d ˜g，以确保某些集合的迭代始终保留在指定开集 U 内。
• 关键的技术构造涉及选择区间 (a_i, b_i)，并确保其并集的补集是具有非空内部的闭区间的并集，从而在群作用下实现受控的动力学。
• 引理 13 的证明利用了 x_j 不在 ⟨k_i⟩ 的有限周期轨道中的事实，从而可应用 Ping-Pong 引理以生成自由子群。
• 引入了一种 Powers 条件的弱化版本（条件 2），要求能从 T \ {e} 的有限子集 H 构造出大自由子群，但证明其不足以证明 C∗_λ(T) 的简化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Thompson 群 F 的非阿赐诺性是否等价于其约化 C*-代数 C∗_λ(T) 的简化性？
• RQ2 能否使用 Powers 关于 C*-代数简化性的条件的弱化版本，来证明 T 等群的简化性，其中原始条件不成立？
• RQ3 是否存在一个有限子集 H ⊂ T，使得 ∑_{g∈H₁} π(g) = ∑_{h∈H₂} π(h)，且由 ∑_{g∈H₁} λ(g) − ∑_{h∈H₂} λ(h) 生成的闭理想为整个 C∗_λ(T)，从而推出 F 的非阿赐诺性？
• RQ4 能否应用一种新的 Ping-Pong 引理变体，以检测具有有理旋转数的圆周同胚群中的自由子群？
• RQ5 是否存在一个具有唯一迹的群 G，使得 Powers 条件不成立但弱化条件（条件 2）成立？

主要发现

• 本文证明了 F 非阿赐诺当且仅当存在一个有限子集 H ⊂ T，其可分解为不相交的 H₁ 和 H₂，使得 ∑_{g∈H₁} π(g) = ∑_{h∈H₂} π(h)，且由 ∑_{g∈H₁} λ(g) − ∑_{h∈H₂} λ(h) 生成的闭理想为整个 C∗_λ(T)。
• 作者证明了 Powers 原始的 C∗_λ(G) 简化性条件对 Thompson 群 T 失效，表明 T 可能是首个已知具有唯一迹但约化 C*-代数非简化的群。
• 引入了一种新条件（条件 2），作为 Powers 条件的自然弱化，若对所有有限子集 H ⊂ G \ {e} 均可实现所需自由子群构造，则该条件仍能推出 C∗_λ(G) 的简化性。
• 尽管条件 2 具有普遍性，但其仍过于强烈，无法证明 C∗_λ(T) 的简化性，因为对某些 H ⊂ T \ {e}，所需构造会失败。
• 开发并应用了一种新的 Ping-Pong 引理变体（引理 12），以证明某些具有有理旋转数的圆周同胚群中的元素可生成自由子群。
• 本文提供了证据表明，新条件 2 严格弱于 Powers 的原始条件，尽管其仍不足以证明 C∗_λ(T) 的简化性。