[论文解读] Ideals in Left Almost Semigroups

Qiaser Mushtaq, Madad Khan|ArXiv.org|Apr 10, 2009

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 5被引用 33

一句话总结

本文研究左几乎半群（LA-半群）中的理想，证明在具有左单位元的 LA-半群中，每个理想都是素理想当且仅当它是幂等的，且理想集合在包含关系下完全有序。对于正则 LA-半群，本文证明所有理想都是素理想当且仅当理想集合构成一个完全有序的链，且素性等价于强不可约性。这些结果阐明了满足中德律与左反演律的非结合半群中素理想的结构性条件。

ABSTRACT

A left almost semigroup (LA-semigroup) or an Abel-Grassmann's groupoid (AG-groupoid) is investigated in several papers. In this paper we have discussed ideals in LA-semigroups. Specifically, we have shown that every ideal in an LA-semigroup S with left identity e is prime if and only if it is idempotent and the set of ideals of S is totally ordered under inclusion. We have shown that an ideal of S is prime if and only if it is semiprime and strongly irreducible. We have proved also that every ideal in a regular LA-semigroup S is prime if and only if the set of ideals of S is totally ordered under inclusion. We have proved in the end that every ideal in S is prime if and only if it is strongly irreducible and the set of ideals of S form a semilattice.

研究动机与目标

• 表征具有左单位元的左几乎半群（LA-半群）中的素理想。
• 研究具有左单位元的 LA-半群中，素性、幂等性与理想完全有序性之间的关系。
• 确定在何种条件下正则 LA-半群中的所有理想都是素理想。
• 探讨正则 LA-半群中素理想与强不可约理想之间的等价性。
• 建立理想的相关结构性质，包括极小性、半素性，以及中德律的作用。

提出的方法

• 以左反演律 (ab)c = (cb)a 和中德律 (ab)(cd) = (ac)(bd) 作为 LA-半群中的基础恒等式。
• 应用左单位元 e 的概念，推导出如 S = eS = Se 和 S = S² 等结构性质。
• 采用理想理论构造方法，包括 I²、a²I 以及理想交集与并集，以分析闭包性与极小性。
• 在正则 LA-半群中使用运算 AB = A ∩ B，将理想交集与乘法联系起来，从而实现等价性证明。
• 应用格论概念，如半格与完全有序关系，以刻画理想集合的结构。
• 采用反证法与理想包含关系论证，以确立极小性与素性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有左单位元的 LA-半群中，什么条件下所有理想都是素理想？
• RQ2 在具有左单位元的 LA-半群中，理想集合的完全有序性如何与所有理想的素性相关联？
• RQ3 在正则 LA-半群中，素理想与强不可约理想之间存在何种关系？
• RQ4 在正则 LA-半群中，理想集合在何种情况下构成一个半格？这如何影响理想素性？
• RQ5 哪些结构性质（如幂等性、极小性）表征 LA-半群中的素理想？

主要发现

• 在具有左单位元 e 的 LA-半群 S 中，每个理想都是素理想当且仅当它是幂等的，且理想集合在包含关系下完全有序。
• S 中的一个理想是素理想当且仅当它是半素理想且强不可约。
• 在正则 LA-半群 S 中，所有理想都是素理想当且仅当理想集合在包含关系下完全有序。
• 在正则 LA-半群中，所有理想都是素理想当且仅当它是强不可约的。
• 在正则 LA-半群中，理想集合在运算 AΛB = AB 下构成一个半格。
• 在 LA-半群中，完全有序的素理想族的交集本身也是一个素理想。