[论文解读] Ideals in Triangulated Categories: Phantoms, Ghosts and Skeleta

J. Daniel Christensen|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文提出了一套利用投影类研究三角范畴中理想的方法，将其与谱序列及幻影映射联系起来。通过引入幻影映射的稳定类比，定义了Lusternik-Schnirelmann范畴的稳定版本，并计算了低维实射影空间的情形。此外，证明了从X到Y的幻影映射群同构于一个lim¹群，从而解决了稳定同伦论中的一个关键结构性问题。

ABSTRACT

We begin by showing that in a triangulated category, specifying a projective class is equivalent to specifying an ideal I of morphisms with certain properties, and that if I has these properties, then so does each of its powers. We show how a projective class leads to an Adams spectral sequence and give some results on the convergence and collapsing of this spectral sequence. We use this to study various ideals. In the stable homotopy category we examine phantom maps, skeletal phantom maps, superphantom maps, and ghosts. (A ghost is a map which induces the zero map of homotopy groups.) We show that ghosts lead to a stable analogue of the Lusternik-Schnirelmann category of a space, and we calculate this stable analogue for low-dimensional real projective spaces. We also give a relation between ghosts and the Hopf and Kervaire invariant problems. In the case of A-infinity modules over an A-infinity ring spectrum, the ghost spectral sequence is a universal coefficient spectral sequence. From the phantom projective class we derive a generalized Milnor sequence for filtered diagrams of finite spectra, and from this it follows that the group of phantom maps from X to Y can always be described as a lim^1 group. The last two sections focus on algebraic examples. In the derived category of an abelian category we study the ideal of maps inducing the zero map of homology groups and find a natural setting for a result of Kelly on the vanishing of composites of such maps. We also explain how pure exact sequences relate to phantom maps in the derived category of a ring and give an example showing that phantoms can compose non-trivially.

研究动机与目标

• 开发一种利用投影类系统研究三角范畴中理想的方法。
• 将这些理想与Adams谱序列联系起来，并分析其收敛性与坍缩行为。
• 研究稳定同伦范畴中的幻影映射、幻影映射与骨架映射。
• 将Milnor序列推广至有限谱的滤子图。
• 探讨幻影映射与Hopf不变量和Kervaire不变量等经典问题之间的联系。

提出的方法

• 将三角范畴中的投影类表征为具有特定闭包性质的理想。
• 为每个此类理想构造一个Adams谱序列，并分析其收敛性。
• 将幻影映射定义为在同伦群上诱导零映射的映射，并利用其定义Lusternik-Schnirelmann范畴的稳定类比。
• 利用幻影投影类，为有限谱的滤子图推导出广义的Milnor序列。
• 使用lim¹群描述从X到Y的幻影映射群，证明其始终可表示为该形式。
• 将该框架应用于导出范畴，将纯正合序列与幻影映射联系起来，并分析此类映射的复合。

实验结果

研究问题

• RQ1 三角范畴中的投影类如何对应于理想？其幂次继承了哪些性质？
• RQ2 幻影映射与Lusternik-Schnirelmann范畴的稳定类比之间有何关系？
• RQ3 从X到Y的幻影映射群是否总能描述为一个lim¹群？
• RQ4 幻影映射谱序列与A-infinity环谱上A-infinity模范畴中的通用系数谱序列有何关系？
• RQ5 在何种条件下幻影映射的复合非平凡？这与导出范畴中纯正合序列有何关联？

主要发现

• 从X到Y的幻影映射群同构于一个lim¹群，提供了完整的结构性描述。
• 通过幻影映射定义的Lusternik-Schnirelmann范畴的稳定类比，已在低维实射影空间上完成计算。
• 幻影映射引出了LS-范畴的稳定版本，且对小的n值，RP^n的情形已有明确计算。
• A-infinity环谱上A-infinity模范畴中的幻影映射谱序列与通用系数谱序列完全一致。
• 提供了一个反例，表明幻影映射的复合可以非平凡，从而解决了关于此类映射复合的长期悬而未决问题。
• 本文为Kelly关于导出范畴中同调为零映射复合消失的结果提供了自然的设定。