[论文解读] Idempotent probability measures, I
本文证明了紧致豪斯多夫空间上的幂等概率测度（马索夫测度）的函子在 **Comp** 类中是正规的，并构成一个单子，其中超空间函子是其子函子。通过引入幂等测度的米留廷映射新概念，证明了该函子保持开满射，同时表明边际对应映射并非开的——这与经典概率测度形成对比。
The set of all idempotent probability measures (Maslov measures) on a compact Hausdorff space endowed with the weak* topology determines is functorial on the category $\comp$ of compact Hausdorff spaces. We prove that the obtained functor is normal in the sense of E. Shchepin. Also, this functor is the functorial part of a monad on $\comp$. We prove that the idempotent probability measure monad contains the hyperspace monad as its submonad. A counterpart of the notion of Milyutin map is defined for the idempotent probability measures. Using the fact of existence of Milyutin maps we prove that the functor of idempotent probability measures preserves the class of open surjective maps. Unlikely to the case of probability measures, the correspondence assigning to every pair of idempotent probability measures on the factors the set of measures on the product with these marginals, is not open.
研究动机与目标
- 建立紧致豪斯多夫空间上幂等概率测度的函子在谢切平意义下的正规性。
- 证明该函子在范畴 **Comp** 上构成一个单子。
- 表明超空间函子可嵌入为子函子，且超空间单子是幂等测度单子的子单子。
- 为幂等测度定义米留廷映射的对应概念，并利用它证明函子保持开满射。
- 研究在幂等设定下，边际对应映射为何不保持开性，与经典概率论形成对比。
提出的方法
- 利用拉杜尔将幂等概率测度嵌入保序泛函空间的方法，分析函子结构。
- 应用幂等对应原理，将经典泛函分析构造与最大-加法凸结构联系起来。
- 引入幂等测度的新型米留廷映射概念，通过平均算子推广经典概念。
- 在幂等测度空间上使用弱*拓扑，由连续函数诱导的半范数定义。
- 利用最大-加法代数结构（⊕ = 取大，⊙ = 加法）定义满足幂等线性性的测度泛函。
- 利用满射的开性与逆像映射到超空间的连续性之间的等价性，证明开满射的保持性。
实验结果
研究问题
- RQ1在紧致豪斯多夫空间范畴中，幂等概率测度的函子是否正规？
- RQ2幂等概率测度的函子能否赋予单子结构？若能，其与超空间单子的关系如何？
- RQ3将一对幂等测度映射到具有给定边际的联合测度的对应关系是否保持开性？
- RQ4能否为幂等测度定义米留廷映射的对应概念？其存在是否保证函子保持开满射？
- RQ5是否存在自然的度量化方式，使幂等测度空间支持类似坎托罗维奇度量或普罗霍罗夫型刻画？
主要发现
- 紧致豪斯多夫空间上幂等概率测度的函子是正规的，如 E. 谢切平所定义。
- 该函子在范畴 **Comp** 上构成一个单子，其单子结构与最大-加法凸紧集及其重心映射相关。
- 超空间函子可作为子函子嵌入，且超空间单子是幂等测度单子的子单子。
- 为幂等测度定义了米留廷映射的对应概念，其存在性意味着函子保持开满射。
- 边际对应映射——将一对幂等测度映射到具有这些边际的联合测度集合——不是开的，这与经典概率情形相反。
- 本文未解决幂等测度空间是否存在自然度量化方式，特别是类似坎托罗维奇或普罗霍罗夫的度量。
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