[论文解读] Identifiability and Stability in Blind Deconvolution under Minimal Assumptions

Yanjun Li, Kiryung Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用 5

一句话总结

本文在最少假设下建立了盲反卷积的最优样本复杂度边界，证明当测量数超过信号与滤波器的稀疏度水平或子空间维数之和时，可实现唯一且稳定的恢复。通过利用低秩矩阵恢复的最新进展，作者推导出与未知量自由度完全匹配的紧致、确定性条件，解决了先前工作中长期存在的次优性差距。

ABSTRACT

Blind deconvolution (BD) arises in many applications. Without assumptions on the signal and the filter, BD does not admit a unique solution. In practice, subspace or sparsity assumptions have shown the ability to reduce the search space and yield the unique solution. However, existing theoretical analysis on uniqueness in BD is rather limited. In an earlier paper, we provided the first algebraic sample complexities for BD that hold for almost all bases or frames. We showed that for BD of a pair of vectors in $\mathbb{C}^n$, with subspace constraints of dimensions $m_1$ and $m_2$, respectively, a sample complexity of $n\geq m_1m_2$ is sufficient. This result is suboptimal, since the number of degrees of freedom is merely $m_1+m_2-1$. We provided analogus results, with similar suboptimality, for BD with sparsity or mixed subspace and sparsity constraints. In this paper, taking advantage of the recent progress on the information-theoretic limits of unique low-rank matrix recovery, we finally bridge this gap, and derive an optimal sample complexity result for BD with generic bases or frames. We show that for BD of an arbitrary pair (resp. all pairs) of vectors in $\mathbb{C}^n$, with sparsity constraints of sparsity levels $s_1$ and $s_2$, a sample complexity of $n > s_1+s_2$ (resp. $n > 2(s_1+s_2)$) is sufficient. We also present analogous results for BD with subspace constraints or mixed constraints, with the subspace dimension replacing the sparsity level. Last but not least, in all the above scenarios, if the bases or frames follow a probabilistic distribution specified in the paper, the recovery is not only unique, but also stable against small perturbations in the measurements, under the same sample complexities.

研究动机与目标

• 弥合现有次优样本复杂度边界与盲反卷积在最少假设下真实自由度之间的差距。
• 建立在稀疏性或子空间约束下，盲反卷积唯一且稳定恢复的紧致、确定性充分条件。
• 将理论保证扩展至通用基或框架，确保在最优测量数下可辨识性和稳定性。
• 通过匹配实际自由度 $m_1 + m_2 - 1$，解决长期存在的次优边界问题，特别是 $n \geq m_1 m_2$ 的要求。

提出的方法

• 利用提升框架，将盲反卷积重新表述为低秩矩阵恢复问题。
• 应用近期关于唯一低秩矩阵恢复的信息论结果，推导出紧致的样本复杂度边界。
• 使用双线性代数和零空间分析刻画可辨识性条件，特别关注零空间中的秩-2矩阵。
• 采用覆盖论证和方箱计数维数分析测量中微小扰动下的稳定性。
• 推导出紧致的边界，仅含常数和对数因子，避免了先前工作中常见的概率失败项。
• 同时考虑实数和复数信号模型，并将结果扩展至涉及稀疏性和子空间结构的混合约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通用稀疏性或子空间约束下，确保盲反卷积唯一恢复所需的最少测量数是多少？
• RQ2 样本复杂度能否实现最优，匹配未知信号与滤波器的自由度数量？
• RQ3 在何种条件下，盲反卷积不仅可辨识，而且对小的测量扰动具有稳定性？
• RQ4 当信号与滤波器在任意正交基而非标准基上稀疏时，结果如何变化？
• RQ5 理论保证能否实现确定性且对所有此类基或框架普遍成立，而非仅以高概率成立？

主要发现

• 对于 $\mathbb{C}^n$ 中两个向量的盲反卷积，稀疏度水平分别为 $s_1$ 和 $s_2$ 时，样本复杂度 $n > s_1 + s_2$ 即足以实现唯一恢复。
• 对于所有向量对，$n > 2(s_1 + s_2)$ 是充分条件，与连续参数空间中的自由度完全匹配。
• 在维度为 $m_1$ 和 $m_2$ 的子空间约束下，所需样本复杂度为 $n > m_1 + m_2 - 1$，与自由度匹配。
• 当信号与滤波器在通用基或框架上稀疏时，恢复不仅唯一，而且在小测量扰动下也稳定。
• 结果在紧致意义上成立，即无需任何常数或对数因子，解决了先前理论边界中长期存在的次优性问题。
• 该分析适用于实数和复数信号模型，并可扩展至涉及稀疏性与子空间结构的混合约束。