[论文解读] Identifiability in Blind Deconvolution with Subspace or Sparsity Constraints

Yanjun Li, Kiryung Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 6被引用 9

一句话总结

该论文首次建立了在子空间或稀疏性约束下盲反卷积的代数样本复杂度界，证明当 $ n \geq m_1 m_2 $ 时，对于一般子空间，可实现缩放意义下的唯一恢复；当一个基具有子带结构时，$ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ 即可实现唯一恢复。该结果进一步推广至稀疏性约束情形，由于支持未知，样本复杂度额外乘以因子 2。

ABSTRACT

Blind deconvolution (BD), the resolution of a signal and a filter given their convolution, arises in many applications. Without further constraints, BD is ill-posed. In practice, subspace or sparsity constraints have been imposed to reduce the search space, and have shown some empirical success. However, existing theoretical analysis on uniqueness in BD is rather limited. As an effort to address the still mysterious question, we derive sufficient conditions under which two vectors can be uniquely identified from their circular convolution, subject to subspace or sparsity constraints. These sufficient conditions provide the first algebraic sample complexities for BD. We first derive a sufficient condition that applies to almost all bases or frames. For blind deconvolution of vectors in $\mathbb{C}^n$, with two subspace constraints of dimensions $m_1$ and $m_2$, the required sample complexity is $n\geq m_1m_2$. Then we impose a sub-band structure on one basis, and derive a sufficient condition that involves a relaxed sample complexity $n\geq m_1+m_2-1$, which we show to be optimal. We present the extensions of these results to BD with sparsity constraints or mixed constraints, with the sparsity level replacing the subspace dimension. The cost for the unknown support in this case is an extra factor of 2 in the sample complexity.

研究动机与目标

• 为盲反卷积在子空间或稀疏性约束下缺乏理论唯一性保证的问题提供解决方案。
• 推导在这些约束下，从循环卷积中唯一识别信号与滤波器的充分条件。
• 建立紧致且适用于子空间与稀疏性约束盲反卷积的代数样本复杂度界。
• 分析稀疏性约束下未知支持对可辨识性与样本复杂度的影响。

提出的方法

• 利用变换群框架，推导出在一般子空间约束下可辨识性的充分条件。
• 当一个基具有子带结构时，引入松弛的样本复杂度界 $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $。
• 应用提升框架，将盲反卷积重述为秩-1矩阵恢复问题，以分析可辨识性。
• 通过零空间分析与矩阵秩论证，证明在所推导条件下，系统矩阵具有满列秩。
• 通过将子空间维数替换为稀疏性水平，并引入额外因子 2 以处理未知支持，考虑稀疏性约束情形。
• 采用基于线性算子中非零零空间向量存在的构造性证明策略，证明当样本复杂度不足时，不可辨识。

实验结果

研究问题

• RQ1 当信号与滤波器均被约束于子空间时，盲反卷积在何种条件下可实现唯一可辨识？
• RQ2 当一个基具有结构化的子带形式时，能否降低子空间约束下盲反卷积的样本复杂度？
• RQ3 稀疏信号的未知支持如何影响可辨识性所需的样本复杂度？
• RQ4 在子带结构假设下，所推导的样本复杂度界 $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ 是否最优？
• RQ5 在任意字典上的稀疏性对盲反卷积中可辨识性有何影响？

主要发现

• 对于两个子空间约束维度分别为 $ m_1 $ 和 $ m_2 $ 的盲反卷积，当 $ n \geq m_1 m_2 $ 时，可保证缩放意义下的唯一恢复，该条件对几乎所有基或框架均充分。
• 当一个基具有子带结构时，所需样本复杂度降低至 $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $，且该界被证明为最优。
• 对于稀疏性约束的盲反卷积，样本复杂度为 $ n \geq 2(s_1 + s_2 - 1) $，其中 $ s_1 $ 和 $ s_2 $ 为稀疏性水平，反映了未知支持的代价。
• 在子带结构假设下，证明了 $ n \geq m_1 + m_2 - 1 $ 为必要且最优，因为若不满足此条件，将导致不可辨识。
• 论文通过在关联线性算子中构造非零零空间向量，证明当 $ n < m_1 + m_2 - 1 $ 时，即使支持已知，可辨识性也会失败。
• 证明了稀疏性约束恢复中 $ n \geq s_1 + m_2 - 1 $ 的必要性，表明未知支持使所需样本复杂度相比已知支持增加两倍。