[论文解读] Identification of community structure in networks with convex optimization

Roland Hildebrand|ArXiv.org|Jun 11, 2008

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种凸优化框架，通过将模块度最大化重新表述为在完全正锥上的锥规划问题，随后采用半定规划松弛来计算最优模块度的紧致上界，从而实现对网络社区结构的识别。该方法使随机化算法能够生成高质量的社区划分，并首次为真实网络——Zachary的空手道俱乐部网络——提供了最优性证明，展示了在基准网络上的最先进准确度。

ABSTRACT

We reformulate the problem of modularity maximization over the set of partitions of a network as a conic optimization problem over the completely positive cone, converting it from a combinatorial optimization problem to a convex continuous one. A semidefinite relaxation of this conic program then allows to compute upper bounds on the maximum modularity of the network. Based on the solution of the corresponding semidefinite program, we design a randomized algorithm generating partitions of the network with suboptimal modularities. We apply this algorithm to several benchmark networks, demonstrating that it is competitive in accuracy with the best algorithms previously known. We use our method to provide the first proof of optimality of a partition for a real-world network.

研究动机与目标

• 为解决现有社区检测算法缺乏质量评估的问题，即无法确定解与最优模块度的接近程度。
• 将模块度最大化的NP难问题重新表述为使用完全正锥的凸连续优化问题。
• 开发一种半定规划松弛，以获得最大模块度的紧致上界，从而实现对次优解的性能评估。
• 设计一种随机化算法，利用半定规划松弛的解生成高模块度的社区划分。
• 首次证明真实世界网络中社区划分的最优性，具体针对Zachary的空手道俱乐部网络。

提出的方法

• 将模块度最大化重新表述为在完全正锥的紧致仿射截面之上的连续凸优化问题。
• 用可半定表示的上界集合（双非负锥）替代难以处理的完全正锥，从而获得可计算的半定规划（SDP）。
• 利用SDP的解推导出最大模块度的上界，该上界在许多基准网络中具有紧致性。
• 设计一种随机化算法，将SDP解投影到低秩矩阵上，以生成次优但模块度较高的社区划分。
• 引入松弛的几何解释，以改进上界并指导随机化划分过程。
• 将该方法扩展至允许对社区数量施加上限，从而生成以该参数为索引的一系列上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 模块度最大化能否被重新表述为凸连续优化问题，以实现对最优模块度的严格上界估计？
• RQ2 与基准网络中已知的最佳次优解相比，通过半定规划松弛获得的上界有多紧？
• RQ3 能否利用半定规划松弛的解来生成具有可证明性能保证的高质量社区划分？
• RQ4 是否可能使用该框架证明真实世界网络中社区划分的最优性？
• RQ5 计算复杂度如何随网络规模和允许的社区数量而变化？

主要发现

• 所提出的半定规划松弛在大多数基准网络中，其模块度上界与最佳已知次优值仅相差几个百分点。
• 对于Zachary的空手道俱乐部网络，改进的松弛消除了对偶间隙，首次为真实世界网络中的社区划分提供了最优性证明。
• 该算法实现了具有竞争力的准确度，通常与或超过标准基准测试中的最佳已知结果。
• 随着允许的最大社区数量增加，上界迅速收敛，表明松弛具有很强的紧致性。
• 对于 $n_{ ext{out}}=6$ 的随机网络，上界相对误差仅为 0.3%，远低于最大模块度本身的标准差。
• 计算成本限制了该方法在节点数为数百个的网络中的适用性，但预计随着半定规划求解器的发展，性能将得到提升。