[论文解读] Identification of Dominant Subspaces for Linear Structured Parametric Systems and Model Reduction

Peter Benner, Pawan Goyal+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 30被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种新颖的模型降阶（MOR）框架，针对线性结构化参数化系统，通过基于插值的方法识别主导可 reach 和可观测子空间。通过证明当使用足够多的插值点时，插值得到的投影矩阵可编码这些子空间，该方法构建了保留最可控和最可观测动态的降阶模型，与先前方法相比显著降低了模型阶数，同时保持了高精度——在大规模基准测试中得到验证，包括一个阶数为 80 与先前方法所需 210 阶的陀螺仪模型。

ABSTRACT

In this paper, we discuss a novel model reduction framework for generalized linear systems. The transfer functions of these systems are assumed to have a special structure, e.g., coming from second-order linear systems and time-delay systems, and they may also have parameter dependencies. Firstly, we investigate the connection between classic interpolation-based model reduction methods with the reachability and observability subspaces of linear structured parametric systems. We show that if enough interpolation points are taken, the projection matrices of interpolation-based model reduction encode these subspaces. As a result, we are able to identify the dominant reachable and observable subspaces of the underlying system. Based on this, we propose a new model reduction algorithm combining these features leading to reduced-order systems. Furthermore, we pay special attention to computational aspects of the approach and discuss its applicability to a large-scale setting. We illustrate the efficiency of the proposed approach with several numerical large-scale benchmark examples.

研究动机与目标

• 建立基于插值的模型降阶与结构化参数化系统可 reach 性/可观测性子空间之间的联系。
• 开发一种方法，用于识别线性结构化参数化系统的主导可 reach 和可观测子空间。
• 构建保留这些主导子空间的降阶模型，以确保系统行为的高保真近似。
• 确保计算效率并适用于大规模系统，特别是具有参数依赖性的系统。
• 通过数值基准测试，定量降低模型阶数，证明该方法优于现有方法。

提出的方法

• 利用基于插值的 MOR 方法，通过复频域平面和参数空间中的一组插值点来构建降阶模型。
• 证明当选择足够多的插值点时，插值得到的投影矩阵可编码系统的主导可 reach 和可观测子空间。
• 提出一种新算法（算法 4.1），通过分析来自插值的投影矩阵的奇异值，计算主导子空间。
• 使用 Petrov-Galerkin 投影，利用识别出的主导子空间构建保留系统结构的降阶模型。
• 结合对数间隔分布的频率点和随机参数样本，以确保覆盖系统的动态和参数行为。
• 采用奇异值衰减分析确定降阶阶数，截断至指定容差（例如 10⁻¹⁵），以平衡精度与复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于插值的模型降阶方法与结构化参数化系统的可 reach 性和可观测性子空间之间有何关系？
• RQ2 是否能仅从插值数据中可靠地识别主导可 reach 和可观测子空间，而无需求解 Gramian 方程？
• RQ3 能否构建一个降阶模型，同时保留最可 reach 和最可观测的状态，从而在更低阶次下实现更高精度？
• RQ4 与现有 MOR 技术相比，该方法在大规模参数化系统上的精度和效率如何？
• RQ5 该方法能否有效应用于具有复杂参数依赖性和高维性的实际工程系统？

主要发现

• 当使用足够多的插值点时，基于插值的 MOR 所得投影矩阵可编码主导可 reach 和可观测子空间，从而无需求解 Gramian 方程即可实现子空间识别。
• 所提方法为一个大规模陀螺仪模型（n=17,913）构建了阶数为 80 的降阶模型，优于先前方法在相似精度下所需的阶数 210。
• Bode 图对比显示，降阶系统在四种不同参数设置下与原系统高度匹配，且在关注的频率范围内误差可忽略。
• 奇异值衰减分析证实主导子空间的奇异值迅速衰减，支持在 10⁻¹⁵ 处截断，从而得到紧凑的降阶模型。
• 该方法计算高效且可扩展，适用于大规模系统，因其依赖于插值和奇异值分析，而非 Gramian 计算。
• 该方法可实现具有复杂结构（如二阶、时滞和分数阶系统）的系统结构保持型 MOR，包括参数依赖性。