[论文解读] Identification of nonlinear controllers from data: theory and computation

Lorenzo Fagiano, Carlo Novara|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Control Systems and Identification参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文提出一种数据驱动方法，从闭环系统中的实验测量数据中识别非线性控制器，利用利普希茨连续性和集合优化。核心贡献是一种可证明收敛的算法，该算法从有限数据中估计控制器的非线性函数及其稳定性特性，确保在有界扰动下具有有限增益 $\sigma$-稳定性。

ABSTRACT

This manuscript contains technical details and proofs of recent results developed by the authors, pertaining to the design of nonlinear controllers from the experimental data measured on an existing feedback control system.

研究动机与目标

• 解决在未知被控对象和控制器的闭环系统中，从实验数据识别未知非线性控制器的挑战。
• 在输入、输出和扰动均属于紧集且扰动有界的条件下，形式化识别问题。
• 通过利普希茨连续性假设，确保所识别控制器保持闭环系统的有限增益 $\sigma$-稳定性。
• 开发一种计算上可行的算法，从有限数据中估计控制器函数及其稳定性裕度。
• 为估计的控制器及其利普希茨常数在数据量增加时提供理论收敛保证。

提出的方法

• 将闭环系统建模为离散时间非线性动力系统，输入为 $e_s$，输出为 $y$，控制器为 $u = \kappa(y)$，其中 $\kappa$ 为静态非线性函数。
• 假设系统动态 $f$ 和控制器 $\kappa$ 在紧集上具有利普希茨连续性，以确保稳定性和有界性。
• 采用集合优化框架，通过最小化预测输出与实测输出之间的最坏情况误差来估计控制器 $\kappa$。
• 引入一种数据驱动估计器，从有限数据样本中计算控制器的利普希茨常数 $\hat{\gamma}_{\kappa}$。
• 应用两步算法：首先从数据中估计扰动界 $\varepsilon$；其次通过数据对上的最大-最小优化计算控制器估计 $\hat{\kappa}$。
• 在较弱正则性条件下，证明当数据量 $N \to \infty$ 时，估计控制器及其利普希茨常数渐近收敛至真实值。

实验结果

研究问题

• RQ1 当被控对象和控制器未知时，能否从实验数据中准确识别非线性控制器？
• RQ2 在有界扰动和测量噪声条件下，什么条件能确保所识别控制器的稳定性？
• RQ3 如何从有限数据中估计未知控制器的利普希茨常数，并保证理论收敛性？
• RQ4 数据量与控制器识别精度及稳定性裕度估计精度之间有何关系？
• RQ5 该识别方法能否仅使用测量的输入-输出数据，确保闭环系统的有限增益 $\ell_\infty$ 稳定性？

主要发现

• 在给定假设下，随着数据样本数 $N \to \infty$，所提出的算法可确保估计控制器 $\hat{\kappa}$ 收敛至真实控制器 $\kappa$。
• 控制器的估计利普希茨常数 $\hat{\gamma}_{\kappa}$ 收敛至真实值 $\gamma_{\kappa}$，且当 $N \to \infty$ 时，几乎必然有 $\hat{\gamma}_{\kappa} \to \gamma_{\kappa}$。
• 若估计的 $\hat{\gamma}_{g,y} < 1$，其中 $\gamma_{g,y}$ 为闭环映射 $g$ 的利普希茨常数，则闭环系统的有限增益 $\ell_\infty$ 稳定性可得到保证。
• 随着数据增加，扰动界 $\varepsilon$ 被一致估计为 $\hat{\varepsilon} \to \varepsilon$，从而确保对未建模动态和噪声的鲁棒性。
• 该算法的控制器估计收敛速率依赖于数据密度以及 $f$ 和 $\kappa$ 的利普希茨性质。
• 理论分析证明，估计的控制器满足 $\gamma_{\mathfrak{f}} \leq \hat{\gamma}$，确保控制器的估计利普希茨常数不会被低估。