[论文解读] Identifying the covariation between the diffusion parts and the co-jumps given discrete observations

Fabio Gobbi, Cecilia Mancini|ArXiv.org|Oct 20, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 13

一句话总结

本文提出一种基于阈值的估计量，利用离散的、可能非同步的观测数据，从两个半鞅过程的共跳中分离出扩散成分的协变积分（IC）。通过截断低于数据驱动阈值函数 $ r(h) $ 的增量，该方法一致地估计 IC 和共跳，对有限活动跳跃实现渐近正态性，并对微观结构噪声和非同步性具有鲁棒性。

ABSTRACT

In this paper we consider two semimartingales driven by diffusions and jumps. We allow both for finite activity and for infinite activity jump components. Given discrete observations we disentangle the {\it integrated covariation} (the covariation between the two diffusion parts, indicated by IC) from the co-jumps. This has important applications to multiple assets price modeling for forecasting, option pricing, risk and credit risk management. An approach commonly used to estimate IC is to take the sum of the cross products of the two processes increments; however this estimator can be highly biased in the presence of jumps, since it approaches the quadratic ovariation, which contains also the co-jumps. Our estimator of IC is based on a threshold (or truncation) technique. We prove that the estimator is consistent in both cases as the number of observations increases to infinity. Further, in presence of only finite activity jumps 1) \hat{IC} is also asymptotically Gaussian; 2) a joint CLT for \hat{IC} and threshold estimators of the integrated variances of the single processes allows to reach consistent and asymptotically Gaussian estimators even of the $β$s and of the correlation coefficient among the diffusion parts of the two processes, allowing a better measurement of their dependence; 3) thresholding gives an estimate of IC which is robust to the asynchronicity of the observations. We conduct a simulation study to check that the application of our technique is in fact informative for values of the step between the observations large enough to avoid the typical problems arising in presence of microstructure noises in the data, and to asses the choice of the threshold parameters.

研究动机与目标

• 解决高频率金融数据中由于共跳导致的标准二次协变积估计量的偏差问题。
• 在观测离散且可能非同步的情况下，发展扩散成分之间协变积分（IC）的一致估计量。
• 分别估计共跳及其对二次协变积的贡献，这对信用风险中违约依赖性和传染效应的建模至关重要。
• 在有限活动跳跃假设下，构建扩散部分相关系数和回归系数的渐近正态估计量。
• 通过修改适用于非同步数据的阈值估计量，确保对微观结构噪声和非同步性的鲁棒性。

提出的方法

• 提出一个阈值估计量：$\hat{IC}_{T,n} = \sum_{j=1}^{n} \Delta_j X^{(1)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(1)})^2 \leq r(h) \}} \Delta_j X^{(2)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(2)})^2 \leq r(h) \}} $，其中 $ r(h) $ 是依赖于采样频率 $ h = T/n $ 的阈值函数。
• 采用阈值准则以隔离低于阈值的增量，有效过滤掉大跳跃，仅保留由扩散驱动的变动。
• 将阈值技术应用于双变量过程，同时估计 IC 和共跳，利用跳跃以高概率超过阈值的特性。
• 对于有限活动跳跃，推导出 $ \hat{IC}_{T,n} $ 与协变积估计量 $ \hat{IV}_T^{(q)} $ 的联合中心极限定理（CLT），从而实现对相关系数和回归系数的统计推断。
• 通过借鉴 [13] 和 [12] 的技术，对估计量进行修改以处理非同步观测，保持一致性。
• 通过两个模型的模拟研究验证性能并选择最优阈值：一个包含随机波动率和有限活动跳跃（模型1），另一个包含恒定波动率和无限活动跳跃（模型2）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在离散观测下，如何一致地估计包含有限活动与无限活动跳跃的扩散成分的协变积分？
• RQ2 基于阈值的估计量是否能有效分离共跳与扩散协变积，即使在非同步性和微观结构噪声存在的情况下？
• RQ3 在有限活动跳跃假设下，IC 的阈值估计量的渐近分布是什么？是否允许对相关系数和回归系数进行统计推断？
• RQ4 估计量在不同跳跃活动状态（如有限活动与无限活动）下的性能表现如何？
• RQ5 在现实的高频金融数据设置中，何种阈值选择可使 IC 与共跳估计的准确性达到最优？

主要发现

• 在 $ n \to \infty $ 时，即使观测非同步，阈值估计量 $ \hat{IC}_{T,n} $ 在有限活动与无限活动跳跃场景下对 $ IC_T $ 均保持一致。
• 对于有限活动跳跃，$ \hat{IC}_{T,n} $ 的渐近分布为正态分布，收敛速度为 $ \sqrt{h} $，将 [2] 的结果扩展至跳跃-扩散模型。
• 联合中心极限定理允许对相关系数和扩散成分之间回归系数 $ \beta $ 进行一致且渐近正态的估计。
• 在模型1（有限活动跳跃）下，共跳总和的估计量极为准确，模拟研究中相对偏差低于1%。
• 在模型2（无限活动跳跃）下，共跳估计量依然稳健，平均百分比误差为1%，标准差较低，而 $ \hat{IC}_{T,n} $ 展现出归一化偏差的高斯行为。
• 在模型1中，估计量 (5) 对共跳估计最具信息量，而在模型2中，估计量 (6) 表现最佳，所有三个估计量在各模型中均表现出色。